Algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Anello graduato

Un anello graduato $A$ è un anello tale che esista una famiglia $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ di sottogruppi abeliani additivi di $(A,+)$ che decompongano $A$ in una somma diretta:

$A=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{A}_n=A_0\oplus A_1\oplus A_2\oplus \cdots$

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

$x\in A_s,y\in A_r⟹xy\in A_{s+r},$

ossia

$A_s{A}_r\subseteq A_{s+r},$

per tutti gli indici $r,s\in \mathbb{N}$.

Gli elementi $A_n$ sono noti come elementi omogenei di grado $n$. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento $a\in A$ ammette una decomposizione unica come somma:

$a=\sum _n{a}_n,$

dove $a_n\in A_n$ per tutti gli $n\in \mathbb{N}$; gli elementi $a_n$ sono talvolta chiamati parti omogenee di $a$.

Un sottoinsieme $𝔞\subset A$ è omogeneo se per ogni elemento $a\in 𝔞$, le parti omogenee di $a$ sono anche contenute in $𝔞.$

Se $I$ è un ideale omogeneo di $A,$ allora $A/I$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

$A/I=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}(A_n+I)/I.$

Algebra graduata

Un'algebra $A$ su un anello $R$ è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello $R$ sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

1. $A_i{R}_j\subset A_{i+j},$
2. $R_i{A}_j\subset A_{i+j}.$

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove $R$ è graduato in modo banale (ogni elemento di $R$ è di grado zero).

Esempi

• Fissato un campo $𝕂$, lo spazio vettoriale $𝕂[x]$ dei polinomi a coefficienti nel campo è banalmente un anello graduato: la famiglia dei suoi elementi omogenei è data da $\{⟨x^n⟩{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, infatti dato che un elemento di $⟨x^n⟩$ è della forma $a{x}^n$, vale evidentemente che $(a{x}^n)(b{x}^m)=ab{x}^{n+m}\in ⟨x^{n+m}⟩$.

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• Template:EnD.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• Template:EnV.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra supercommutativa
• Anello commutativo
• Ideale (matematica)
• Superalgebra
• Superalgebra di Poincaré

Collegamenti esterni

• Template:Cita testo, S. Martin, 1999.
• Template:Cita testo, Joseph D. Lykken, 1996.
• Template:Cita testo, Manuel Drees, 1996.
• Template:Cita testo, Adel Bilal, 2001.
• Template:Cita testo, Philip Arygres, 2001.
• Template:Cita testo, Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
• Template:EnBrookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). Template:Cita testo
• Template:EnFermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). Template:Cita testo.