Processo di nascita e morte

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo sullo spazio degli stati dato dall'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code e demografia.

Definizione

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su $\mathbb{N}$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• Gli incrementi sono indipendenti, ossia la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
• Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per $h\to 0$

$\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)={\lambda }_{n}h+o(h).$

• Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per $h\to 0$

$\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=-1)={\mu }_{n}h+o(h).$

• Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ossia per $h\to 0$

$\mathbb{P}(|N_{t+h}-N_t|\ge 2)=o(h).$

Le quantità λ_n e μ_n sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

Proprietà

• Il processo soddisfa la proprietà di Markov.
• Il processo soddisfa la proprietà di Markov forte.
• La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data, per $h\to 0$, da

$\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=0)=1-({\mu }_n+{\lambda }_n)h+o(h).$

• Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro (λ_n + μ_n).
• Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui μ_n=0 e λ_n=λ per ogni n.

Condizioni per la ricorrenza e la transitorietà

Le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà sono state stabilite da Samuel Karlin e James McGregor..

Un processo di nascita e morte è ricorrente se e solo se

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=1}^i\frac{{\mu }_n}{{\lambda }_n}=\mathrm{\infty }.$

Un processo di nascita e morte è ergodico se e solo se

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=1}^i\frac{{\mu }_n}{{\lambda }_n}=\mathrm{\infty }\text{e}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=1}^i\frac{{\lambda }_{n-1}}{{\mu }_n}<\mathrm{\infty }.$

Un processo di nascita e morte è nullo-ricorrente se e solo se

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=1}^i\frac{{\mu }_n}{{\lambda }_n}=\mathrm{\infty }\text{e}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=1}^i\frac{{\lambda }_{n-1}}{{\mu }_n}=\mathrm{\infty }.$

Le condizioni per la ricorrenza, la transitorietà, l'ergodicità e la ricorrenza nulla possono essere derivate in una forma più esplicita.

Per ogni intero $K\ge 1$, sia ${\ln }_{(K)}(x)$ la $K$-esima iterazione del logaritmo naturale, ossia ${\ln }_{(1)}(x)=\ln (x)$, e per qualsiasi $2\le k\le K$, ${\ln }_{(k)}(x)={\ln }_{(k-1)}(\ln (x))$.

Quindi, le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà di un processo di nascita e morte sono le seguenti.

Il processo di nascita e morte è transitorio se esistono $c>1$, $K\ge 1$ e $n_0$, tale che per ogni $n>n_0$ si ha

$\frac{{\lambda }_n}{{\mu }_n}\ge 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{K-1}\frac{1}{\prod _{j=1}^k{\ln }_{(j)}(n)}+\frac{c}{n\prod _{j=1}^K{\ln }_{(j)}(n)},$

dove la somma vuota per $K=1$ si assume che sia 0.

Il processo di nascita e morte è ricorrente se esistono $K\ge 1$ e $n_0$, tali che per ogni $n>n_0$ si ha

$\frac{{\lambda }_n}{{\mu }_n}\le 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum _{k=1}^K\frac{1}{\prod _{j=1}^k{\ln }_{(j)}(n)}.$

Possono essere trovate classi più ampie di processi di nascita e morte per i quali è possibile stabilire le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà.

Applicazione

Consideriamo il passeggiata aleatoria unidimensionale $S_t$, $t=0,1,\dots$, che è definito come segue. Lasciare $S_0=1$ e $S_t=S_{t-1}+e_t$, $t\ge 1$, dove $e_t$ accetta valori $\pm 1$, e la distribuzione di $S(t)$ è definito dalle seguenti condizioni:

$\mathbb{P}\{S_{t+1}=S_t+1|S_t>0\}=\frac{1}{2}+\frac{{\alpha }_{S_t}}{S_t},\mathbb{P}\{S_{t+1}=S_t-1|S_t>0\}=\frac{1}{2}-\frac{{\alpha }_{S_t}}{S_t},\mathbb{P}\{S_{t+1}=1|S_t=0\}=1,$

dove ${\alpha }_n$ soddisfano la condizione $0<{\alpha }_n<\min \{C,n/2\}$, $C>0$.

Il passeggiata aleatoria qui descritto è un analogo a tempo discreto del processo di nascita e morte (vedi catena di Markov) con i tassi di natalità

$\frac{1}{2}+\frac{{\alpha }_n}{2},$

e i tassi di mortalità

$\frac{1}{2}-\frac{{\alpha }_n}{2}.$

Quindi, la ricorrenza o la transitorietà del passeggiata aleatoria è associata alla ricorrenza o alla transitorietà del processo di nascita e morte.

La passeggiata aleatoria è transitorio se esiste $c>1$, $K\ge 1$ e $n_0$ tale che per ogni $n>n_0$

${\alpha }_n\ge \frac{1}{4}(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^k\frac{1}{{\ln }_{(j)}(n)}+c\prod _{j=1}^K\frac{1}{{\ln }_{(j)}(n)}),$

dove la somma vuota per $K=1$ è assunto pari a zero.

La passeggiata aleatoria è ricorrente se esiste $K\ge 1$ e $n_0$ tale che per ogni $n>n_0$

${\alpha }_n\le (1+\sum _{k=1}^K\prod _{j=1}^k\frac{1}{{\ln }_{(j)}(n)}).$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teoria delle code
• Processo stocastico
• Processo markoviano