Potenziale di Bessel

In matematica, il potenziale di Bessel è un potenziale (il cui nome deriva da Friedrich Wilhelm Bessel) simile al potenziale di Riesz ma con migliori proprietà di decadimento all'infinito.

Sia $s$ è un numero complesso con parte reale positiva, allora il potenziale di Bessel di ordine $s$ è l'operatore

(I - Δ)^{- s / 2}

dove $Δ$ è l'operatore di Laplace e la potenza frazionaria è definita usando la trasformata di Fourier.

Il potenziale di Yukawa è un caso particolare del potenziale di Bessel con $s = 2$ nello spazio tridimensionale.

Rappresentazione nello spazio di Fourier

Il potenziale di Bessel agisce come moltiplicazione nelle trasformate di Fourier: per ogni $ξ \in ℝ^{d}$

ℱ ((I - Δ)^{- s / 2} u) (ξ) = \frac{ℱ u (ξ)}{(1 + 4 π^{2} | ξ |^{2})^{s / 2}} .

Quando $s > 0$ , il potenziale Bessel su $ℝ^{d}$ può essere rappresentato da

(I - Δ)^{- s / 2} u = G_{s} * u,

dove il nucleo di Bessel $G_{s}$ è definito per $x \in ℝ^{d} ∖ {0}$ attraverso la formula integrale^[1]

G_{s} (x) u = \frac{1}{(4 π)^{s / 2} Γ (s / 2)} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- \frac{π | x |^{2}}{δ} - \frac{δ}{4 π}}}{δ^{1 + \frac{d - s}{2}}} d δ .

Qui $Γ$ indica la funzione Gamma. Un altro modo di rappresentare il nucleo di Bessel kernel per $x \in ℝ^{d} ∖ {0}$ è^[2]

G_{s} (x) = \frac{e^{- | x |}}{(2 π)^{\frac{d - 1}{2}} 2^{\frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) Γ (\frac{d - s + 1}{2})} \int_{0}^{\infty} e^{- | x | t} (t + \frac{t^{2}}{2})^{\frac{d - s - 1}{2}} d t .

Nell'origine, si ha con $| x | \to 0$ ,^[3]

G_{s} (x) = \frac{Γ (\frac{d - s}{2})}{2^{s} π^{s / 2} | x |^{d - s}} (1 + o (1)) se 0 < s < d,

G_{d} (x) = \frac{1}{2^{d - 1} π^{d / 2}} \ln \frac{1}{| x |} (1 + o (1)), se s = d,

G_{s} (x) = \frac{Γ (\frac{s - d}{2})}{2^{s} π^{s / 2}} (1 + o (1)) se s > d .

In particolare, quando $0 < s < d$ il potenziale di Bessel si comporta asintoticamente come il potenziale di Riesz.

All'infinito, vale la seguente stima asintotica per $| x | \to \infty$ ,^[4]

G_{s} (x) = \frac{e^{- | x |}}{2^{\frac{d + s - 1}{2}} π^{\frac{d - 1}{2}} Γ (\frac{s}{2}) | x |^{\frac{d + 1 - s}{2}}} (1 + o (1)) .

Duduchava, R. (2001) [1994], "Bessel potential operator", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
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Hedberg, L.I. (2001) [1994], "Bessel potential space", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Bessel potential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
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