Polilogaritmo incompleto

In matematica, la funzione polilogaritmo incompleto è correlata alla funzione polilogaritmo. A volte è noto come integrale di Fermi-Dirac incompleto o integrale di Bose-Einstein incompleto. Può essere definito da:

${\mathrm{Li}}_s(b,z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x/z-1}dx.$

Espandendo per z=0 e integrando si ottiene una rappresentazione in serie:

${\mathrm{Li}}_s(b,z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}\frac{\mathrm{\Gamma }(s,kb)}{\mathrm{\Gamma }(s)}$

dove Γ(s) è la funzione gamma e Γ(s,x) è la funzione gamma incompleta superiore. Poiché Γ(s,0)=Γ(s), ne consegue che:

${\mathrm{Li}}_s(0,z)={\mathrm{Li}}_s(z)$

dove L_i(.) è la funzione polilogaritmo.

Riferimenti

• Biblioteca scientifica GNU - Manuale di riferimento https://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117