Operatore ipoellittico

In matematica, in particolare nell'ambito dello studio delle equazioni alle derivate parziali, un operatore differenziale parziale $P$ definito su un aperto $U\subset {ℝ}^n$ è un operatore ipoellittico se, per ogni distribuzione $u$ definita su un aperto $V\subset U$ tale per cui $Pu$ è di classe $C^{\mathrm{\infty }}$ (cioè una funzione liscia), si verifica che anche $u$ deve essere di classe $C^{\mathrm{\infty }}$.

Se tale richiesta è soddisfatta quando, invece che funzioni di classe $C^{\mathrm{\infty }}$, si richiede che $Pu$ e $u$ siano una funzione analitica reale, allora $P$ è detto "ipoellittico analitico" (analytically hypoelliptic).

Ogni operatore ellittico con coefficienti di classe $C^{\mathrm{\infty }}$ è ipoellittico. In particolare, l'operatore di Laplace è un esempio di operatore ipoellittico (e ipoellittico analitico). L'equazione del calore:

$P(u)=u_t-k\mathrm{\Delta }uk>0$

è ipoellittica ma non ellittica, mentre l'equazione delle onde:

$P(u)=u_{tt}-c^2\mathrm{\Delta }uc\ne 0$

non è ipoellittica.

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
• Lemma di Weyl

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