Numero di Pisot-Vijayaraghavan

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In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di 1, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di 1 in valore assoluto.

Se ad esempio α è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato α′, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in α da

α=a+bd

con a and b entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

α′=a−bd.

In questo caso si hanno le due condizioni

α>1,
−1<α′<1,

che sono soddisfatte dal numero aureo ϕ. Abbiamo infatti

ϕ=1+52>1,
ϕ′=1−52=−1ϕ.

Nel caso i coniugati siano non maggiori di 1, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente 1, il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza n-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di ϕ: abbiamo ϕ21=24476,0000409, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni n la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico x e dei suoi coniugati è un numero intero. Se x è un numero di Pisot, le potenze n-sime degli altri coniugati tendono a 0 per n che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione x3−x−1: questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado

x2−2x−1=0,

uguale al numero irrazionale algebrico 1+2[1].

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo ϕ=1+52≈1,618033.

Tabella dei numeri di Pisot

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.

# Valore Radice di...
1 1,3247179572447460260 x3−x−1
2 1,3802775690976141157 x4−x3−1
3 1,4432687912703731076 x5−x4−x3+x2−1
4 1,4655712318767680267 x3−x2−1
5 1,5015948035390873664 x6−x5−x4+x2−1
6 1,5341577449142669154 x5−x3−x2−x−1
7 1,5452156497327552432 x7−x6−x5+x2−1
8 1,5617520677202972947 x6−2x5+x4−x2+x−1
9 1,5701473121960543629 x5−x4−x2−1
10 1,5736789683935169887 x8−x7−x6+x2−1
11 1,5900053739013639252 x7−x5−x4−x3−x2−x−1
12 1,5911843056671025063 x9−x8−x7+x2−1
13 1,6013473337876367242 x7−x6−x4−x2−1
14 1,6017558616969832557 x10−x9−x8+x2−1
15 1,6079827279282011499 x9−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
16 1,6081283851873869594 x11−x10−x9+x2−1
17 1,6119303965641198198 x9−x8−x6−x4−x2−1
18 1,6119834212464921559 x12−x11−x10+x2−1
19 1,6143068232571485146 x11−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
20 1,6143264149391271041 x13−x12−x11+x2−1
21 1,6157492027552106107 x11−x10−x8−x6−x4−x2−1
22 1,6157565175408433755 x14−x13−x12+x2−1
23 1,6166296843945727036 x13−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
24 1,6166324353879050082 x15−x14−x13+x2−1
25 1,6171692963550925635 x13−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
26 1,6171703361720168476 x16−x15−x14+x2−1
27 1,6175009054313240144 x15−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
28 1,6175012998129095573 x17−x16−x15+x2−1
29 1,6177050699575566445 x15−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
30 1,6177052198884550971 x18−x17−x16+x2−1
31 1,6178309287889738637 x17−x15−x14−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
32 1,6178309858778122988 x19−x18−x17+x2−1
33 1,6179085817671650120 x17−x16−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
34 1,6179086035278053858 x20−x19−x18+x2−1
35 1,6179565199535642392 x19−x17−x16−x15−x14−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
36 1,6179565282539765702 x21−x20−x19+x2−1
37 1,6179861253852491516 x19−x18−x16−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
38 1,6179861285528618287 x22−x21−x20+x2−1

Note

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