Moto elicoidale uniforme

Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare $(\cos t,\sin t,t)$ da $t=0$ con le frecce che indicano la direzione in cui cresce $t$

Si chiama moto elicoidale il moto di un punto materiale che descrive con velocità angolare costante un'elica circolare, cioè un'elica appartenente ad un cilindro circolare retto, come rappresentato in figura.

È un moto tridimensionale di un punto, che si compone di un moto piano circolare uniforme in un piano e di un moto rettilineo uniforme nella direzione perpendicolare al piano detto.

In coordinate cartesiane dato il passo dell'elica $P_0$, il raggio $r$ del cilindro attorno a cui sale l'elica e l'angolo $\theta$ che indica "l'avvolgersi" dell'elica attorno al suo asse, l'equazioni parametriche che individuano l'elica sono:

$\{\begin{array}{cc}& x=r\cos \theta \\ & y=r\sin \theta \\ & z=\frac{P_0\theta }{2\pi }\\ \end{array}$

Chiamiamo $\widehat{𝐓}$ il versore tangente alla traiettoria dell'elica, $\widehat{𝐍}$ il versore normale alla traiettoria ed assegniamo il "verso" di percorrenza dell'elica come positivo per valori di $\theta$ crescenti. Per avere la velocità del moto è necessario derivare rispetto al tempo l'equazione parametrica vettoriale dell'elica:

$𝐯=\frac{\mathrm{d}𝐱}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}𝐲}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}𝐳}{\mathrm{d}t}=-r\omega \sin \theta \widehat{𝐢}+r\omega \cos \theta \widehat{𝐣}+\frac{P_0\omega }{2\pi }\widehat{𝐤}$

che è anche pari a:

$𝐯=\left(\sqrt{r^2+\frac{P_0^2}{4{\pi }^2}}\right)\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}\widehat{𝐓}=\left(\sqrt{r^2+\frac{P_0^2}{4{\pi }^2}}\right)\omega \widehat{𝐓}$.

Similmente derivando la velocità scalare potremo trovare l'accelerazione:

$𝐚=\left(\sqrt{r^2+\frac{P_0^2}{4{\pi }^2}}\right)\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}\widehat{𝐓}+r{\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}\right)}^2\widehat{𝐍}=\left(\sqrt{r^2+\frac{P_0^2}{4{\pi }^2}}\right)\alpha \widehat{𝐓}+r{\omega }^2\widehat{𝐍}$.

Poiché $\mathit{\omega }$ è costante nel moto uniforme, allora $\mathit{\alpha }=0$.

Si può dunque scrivere:

$𝐚=r{\omega }^2\widehat{𝐍}$

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Voci correlate

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