Misura vettoriale

In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

Definizione

Data un'algebra di insiemi $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ ed uno spazio di Banach $X$, una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione $\mu :ℱ\to X$ tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti $A$ e $B$ in $ℱ$ si verifica:

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

Una misura vettoriale $\mu$ è detta numerabilmente additiva se per ogni successione $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ di insiemi disgiunti in $ℱ$ tale che la loro unione sia in $ℱ$ si ha:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)$

dove la serie al membro di destra converge nella norma di $X$.

Si può mostrare che una misura vettoriale additiva $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ definita come sopra si verifica:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert \mu \left(\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\Vert =0$

dove $\Vert \cdot \Vert$ è la norma su $X$.

Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa $[0,\mathrm{\infty }]$, $ℝ$ e $ℂ$.

Variazione di una misura vettoriale

Da una misura vettoriale $\mu :ℱ\to X$, la variazione $|\mu |$ di $\mu$ è definita come:

$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^n\Vert \mu (A_i)\Vert$

dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:

$A=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$

di $A$ in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni $A$ in $ℱ$, e la norma $\Vert \cdot \Vert$ è la norma su $X.$

La variazione di $\mu$ è una funzione finitamente additiva che mappa su $[0,\mathrm{\infty }]$. Si ha inoltre:

$||\mu (A)||\le |\mu |(A)$

per ogni $A$ in $ℱ$. Se $|\mu |(\mathrm{\Omega })$ è finita, la misura $\mu$ è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se $\mu$ è una misura vettoriale a variazione limitata allora $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se $|\mu |$ è numerabilmente additiva.

Bibliografia

• Template:EnTemplate:Cita libro
• Template:EnTemplate:Cita libro
• Template:En Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

Voci correlate

• Algebra di insiemi
• Misura (matematica)
• Misura con segno
• Misura complessa

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM