Metodo di Petrick

Il metodo di Petrick è un algoritmo di risoluzione dei mintermini contenuti in una tabella degli implicanti primi ricavata con il metodo di Quine-McCluskey. Tale metodo, che semplifica la copertura trasponendola in forma algebrica, risulta scomodo per tabelle molto grandi, in quanto valuta tutte le possibili soluzioni, ma è facilmente implementabile in un computer tramite algoritmi di branch and bound.

Il metodo di Petrick opera seguendo questi passaggi:

1. Riduzione della tabella degli implicanti primi eliminando le righe contenenti implicanti primi essenziali (e le rispettive colonne);
2. Etichettatura delle righe della tabella ridotta ($P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, ecc.);
3. Costruzione di una funzione logica $P$ tale che sia vera quando tutte le colonne sono coperte ($P$ è costituita da un prodotto di somme, dove ogni termine di somma ha la forma $(P_{i0}+P_{i1}+$$\cdots$$+P_{iN})$, in cui $P_{ij}$ rappresentano una riga che copre la colonna $i$);
4. Minimizzazione di $P$ in somma di prodotti applicando l'equivalenza $X+XY=X$ (ciascun termine nel risultato rappresenta una soluzione, ovvero un insieme di righe che copre tutti i mintermini della tabella);
5. Determinazione delle soluzioni minime individuando quei termini che contengono il minor numero di implicanti primi;
6. Conteggio del numero dei letterali in ciascun implicante primo dei termini trovati precedentemente e ricerca del numero totale di letterali;
7. Scelta dei termini formati dal minor numero totale di letterali e scrittura delle corrispondenti somme di implicanti primi.

Esempio

Supponiamo di voler ridurre la seguente funzione:

$f(A,B,C)=\sum m(0,1,2,5,6,7)$

Usando il metodo di Quine-McCluskey si perviene alla seguente tabella degli implicanti primi:

                | 0 1 2 5 6 7
 ---------------|------------
   K (0,1) a'b' | X X
   L (0,2) a'c' | X   X
   M (1,5) b'c  |   X   X
   N (2,6) bc'  |     X   X
   P (5,7) ac   |       X   X
   Q (6,7) ab   |         X X

In base alle coperture segnate con una X nella tabella soprastante, si ricava il seguente prodotto di somme delle righe, dove le righe vengono addizionate e le colonne moltiplicate tra loro:

$(K+L)(K+M)(L+N)(M+P)(N+Q)(P+Q)$

Usando la proprietà distributiva e le equivalenze:

• $X+XY=X$
• $XX=X$
• $X+X=X$

l'espressione precedente viene semplificata e trasformata in somma di prodotti come segue:

$(K+L)(K+M)(L+N)(M+P)(N+Q)(P+Q)$

$=(K+LM)(N+LQ)(P+MQ)$

$=(KN+KLQ+LMN+LMQ)(P+MQ)$

$=KNP+KLPQ+LMNP+LMPQ+KMNQ+KLMQ+LMNQ+LMQ$

Applicando l'equivalenza:

$X+XY=X$

l'espressione viene ulteriormente ridotta, diventando:

$KNP+KLPQ+LMNP+LMPQ+KMNQ+KLMQ+LMNQ+LMQ=$

$=KNP+KLPQ+LMNP+LMQ+KMNQ$

A questo punto scegliamo i prodotti col minor numero di termini, che in quest'esempio sono:

• $KNP$
• $LMQ$

Infine, scegliamo i termini col minor numero totale di letterali; pertanto, i due prodotti si espandono entrambi in 6 letterali totali:

• $KNP$ → $a^{\prime }{b}^{\prime }+b{c}^{\prime }+ac$
• $LMQ$ → $a^{\prime }{c}^{\prime }+b^{\prime }c+ab$