Metodo delle secanti

Le prime tre iterazioni del metodo delle secanti. La curva rossa è la funzione f(x), ed i segmenti blu sono le secanti. In questo caso si ha convergenza verso la radice.

Le prime due iterazioni del metodo delle secanti. La curva rossa è la funzione f(x), ed i segmenti blu sono le secanti. In questo caso non si ha convergenza verso la radice.

In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle secanti (o metodo delle secanti con estremi variabili) è uno dei metodi più semplici per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $f(x)=0$. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo $[a,b]$ che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti con il seguente criterio: assegnati due punti iniziali $x_0,x_1$, per ogni $n\ge 1$ il punto $x_{n+1}$ sia lo zero della retta passante per i punti $(x_{n-1},f(x_{n-1})),(x_n,f(x_n))$. Si ottiene

$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n)$.

Rispetto al metodo delle corde, quello delle secanti richiede un punto iniziale in più e ad ogni passo il calcolo del rapporto che compare nella formula. Inoltre la convergenza è locale, cioè dipende dalla scelta dei punti iniziali $x_0,x_1$; il guadagno è però una maggiore velocità di convergenza, che risulta superlineare.

Si dimostra infatti che, detta $\alpha$ la soluzione corretta, se $f\in C^2([a,b]),f^{″}(\alpha )\ne 0$ e $x_0,x_1$ sono abbastanza vicini ad $\alpha$,

allora il metodo converge con ordine

$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$

Bibliografia

• Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Matematica numerica, Springer, 2008, ISBN 8847007828.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle corde
• Metodo delle tangenti
• Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

Collegamenti esterni

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