Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

Template:F In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $f(x)=0$.

Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).

Se $f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)>0$, quindi se $f(x)$ è decrescente e concava (fig. 1) oppure se $f(x)$ è crescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione $\{x_n\}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione $\{x_m\}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Se $f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)<0$ quindi se $f(x)$ è crescente e concava (fig. 3) oppure $f(x)$ è decrescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione $\{x_n\}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione $\{x_m\}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione $f(x)=0$.

È possibile perciò, ove la funzione $f$ verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.

Primo esempio

Esempio 1: determinare le radici di $x^3-2x-2=0$ a meno di $10^{-4}$.

La funzione è definita e continua in $ℝ$, inoltre, poiché $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ e $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$ la curva incontra l'asse delle $x$ in almeno un punto.

Dallo studio delle derivate prima e seconda $f^{\prime }(x)=3x^2-2$ e $f^{″}(x)=6x$ si ricava che la funzione ha un massimo relativo in $(-\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}-2)$, un minimo relativo in $(\sqrt{\frac{2}{3}},-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}-2)$ e un flesso a tangente obliqua in $(0,-2)$ e quindi la curva interseca l'asse delle $x$ in un solo punto. Inoltre $f(1)=-3<0$ e $f(2)=2>0$; perciò $1<\alpha <2$. Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.

Applicando il metodo delle tangenti, essendo $f(x)$ crescente e convessa nell'intervallo $[1,2]$ si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in $B$, in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene

$x_0=b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}=2-\frac{f(2)}{f^{\prime }(2)}=1.8$

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=1.769948187$

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}=1.769292663$

poiché risulta $|x_2-x_1|<10^{-3}$, iterando ulteriormente si ottiene

$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f^{\prime }(x_2)}=1.769292354$ da cui $|x_3-x_2|<10^{-6}$ e quindi $\alpha =1.769292$ è la radice approssimata per eccesso a meno $10^{-6}$ dopo 4 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti, essendo $A=(1,-3)$ e $B=(2,2)$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula

$x_{n+1}=b-f(b)\frac{x_n-b}{f(x_n)-f(b)}$

si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:

$x_0=b-f(b)\frac{a-b}{f(a)-f(b)})=1.6$

la seconda secante passa per i punti $B$ e $C=(x_0,f(x_0))$ essendo $f(b)f(x_0)=2(-0.0255)<0$ da cui

$x_1=b-f(b)\frac{x_0-b}{f(x_0)-f(b)})=1.742268$

$x_2=b-f(b)\frac{x_1-b}{f(x_1)-f(b)})=1.765259$

$x_3=1.768696$

$x_4=1.769204$

$x_5=1.769279$

dopo 6 iterazioni, essendo $|x_5-x_4|<10^{-4}$, $\alpha =1.7692$ è la radice approssimata per difetto a meno $10^{-4}$. Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore $\alpha =1.7692$ è esatto alla quarta cifra decimale.

Secondo esempio

Esempio 2: determinare le radici di $e^{-x}-x+1=0$ a meno di $10^{-4}$

Sia $f(x)=e^{-x}-x+1$. Si scrive l'equazione nella forma $e^{-x}=x-1$e si considerano le funzioni di equazioni $y=e^{-x}$ e $y=x-1$.

Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto $P$, pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto $P$ ed essendo $f(1)=\frac{1}{e}>0$ e $f(2)=\frac{1}{e^2}-1<0$, tale radice appartiene all'intervallo $[1,2]$. Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione $f$ è decrescente e convessa nell'intervallo $[1,2]$; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo $A=(1,\frac{1}{e})$in cui la funzione $f$ e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto

$x_0=a-\frac{f(a)}{f^{\prime }(a)}=1-\frac{f(1)}{f^{\prime }(1)}=1.268941$

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=1.278455$

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}=1.278465$

poiché risulta $|x_2-x_1|<10^{-4}$ si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di $10^{-4}$ è $\alpha =1.2784$ dopo 3 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti essendo $A=(1,\frac{1}{e})$ e $B=(2,\frac{1-e^2}{e^2})$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso: $x_0=a-f(a)\frac{b-a}{f(b)-f(a)}=1.298472$.

La seconda secante passa per i punti $A$ e $C=(x_0,f(x_0))$ essendo $f(a)f(x_0)=\frac{1}{e}(-0.0255)<0$ da cui

$x_1=a-f(a)\frac{x_0-a}{f(x_0)-f(a)}=1.279108$

$x_2=a-f(a)\frac{x_1-a}{f(x_1)-f(a)}=1.278485$

$x_3=a-f(a)\frac{x_2-a}{f(x_2)-f(a)}=1.278465$ ;

essendo $|x_3-x_2|<10^{-4}$, $\alpha =1.2784$ è la radice approssimata per eccesso a meno di $10^{-4}$ dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione