Metodo dei nodi

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In elettrotecnica e in particolare in teoria dei circuiti si definisce metodo dei nodi o più propriamente metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito. Si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, ma in caso di reti con generatori di tensione ideali si può ricorrere ad una sua variante.

Il vantaggio principale del metodo dei potenziali ai nodi è che per una rete con $n$ nodi e $l$ lati richiede la soluzione di solo $n - 1$ equazioni, a differenza delle $n - 1$ equazioni ai nodi e le $l - n + 1$ equazioni alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

Esempio

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si assume come potenziale di riferimento, ora $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ sono le tensioni tra i nodi 1 2 3 e il nodo di riferimento.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ , $I_{i}$ è la corrente passante per $R_{i}$ e $G_{i} = \frac{1}{R_{i}}$ è la conduttanza della resistenza $i$

$I_{1} = \frac{V_{1} - V_{3}}{R_{1}} = G_{1} (V_{1} - V_{3})$

$I_{2} = \frac{V_{1} - V_{2}}{R_{2}} = G_{2} (V_{1} - V_{2})$

$I_{3} = \frac{V_{2} - V_{3}}{R_{3}} = G_{3} (V_{2} - V_{3})$

$I_{4} = \frac{V_{2}}{R_{4}} = G_{4} V_{2}$

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

{\begin{matrix} + J_{1} & - I_{1} & - I_{2} & = & 0 \\ + I_{2} & - I_{3} & - I_{4} & = & 0 \\ + J_{2} & + I_{1} & + I_{3} & = & 0 \end{matrix}

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

{\begin{matrix} J_{1} & - G_{1} (V_{1} - V_{3}) & - G_{2} (V_{1} - V_{2}) & = & 0 \\ G_{2} (V_{1} - V_{2}) & - G_{3} (V_{2} - V_{3}) & - G_{4} V_{2} & = & 0 \\ J_{2} & G_{1} (V_{1} - V_{3}) & G_{3} (V_{2} - V_{3}) & = & 0 \end{matrix}

Riordinando il sistema per $V_{1}, V_{2}, V_{3}$

{\begin{matrix} (- G_{1} - G_{2}) V_{1} & + G_{2} V_{2} & + G_{1} V_{3} & = & - J_{1} \\ (G_{2}) V_{1} & (- G_{2} - G_{3} - G_{4}) V_{2} & + G_{3} V_{3} & = & 0 \\ G_{1} V_{1} & + G_{3} V_{2} & (- G_{1} - G_{3}) V_{3} & = & - J_{2} \end{matrix}

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili. Non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo: utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale

La rete ha n nodi, siano $V_{1}, V_{2} . . . V_{n - 1}$ le tensioni ai nodi.

Il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, (n - 1)} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, (n - 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{(n - 1), 1} & a_{(n - 1), 2} & \dots & a_{(n - 1), (n - 1)} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \\ ⋮ \\ V_{n - 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}]

dove

$a_{i, i} = + \sum$ conduttanze che convergono al nodo $i$

$i \neq j, a_{i, j} = - \sum$ conduttanze tra il nodo $i$ e il nodo $j$

$b_{i} = + \sum$ correnti dei generatori di corrente che convergono al nodo $i$

Metodo dei potenziali ai nodi modificato

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione; tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di $(N - 1) + E$ equazioni, dove $E$ è il numero di generatori ideali di tensione, per cui è vantaggioso fintanto che $E < L - 2 (N - 1)$ , visto che le equazioni di Kirchhoff delle tensioni sono $L - (N - 1)$ e le equazioni dei potenziali ai nodi sono $N - 1$ .

Esempio

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore $J_{2} = \frac{E_{1}}{R_{3}}$

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ e della corrente incognita $I_{E_{2}}$ che attraversa il generatore $E_{2}$ . A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da $E_{2}$ con i potenziali ai suoi capi.

{\begin{matrix} J_{1} & - G_{4} (V_{1} - V_{2}) & - G_{5} (V_{1} - V_{3}) & = & 0 \\ G_{4} (V_{1} - V_{2}) & - G_{2} V_{2} & - I_{E_{2}} & = & 0 \\ G_{5} (V_{1} - V_{3}) & + I_{E_{2}} & - J_{2} & - G_{3} V_{3} & = & 0 \\ V_{3} & - V_{2} & = & E_{2} \end{matrix}

riordinando per $V_{1}, V_{2}, V_{3}, I_{E_{2}}$ e scrivendo in forma matriciale

[\begin{matrix} - G_{4} - G_{5} & G_{4} & G_{5} & 0 \\ G_{4} & - G_{2} - G_{4} & 0 & - 1 \\ G_{5} & 0 & - G_{3} - G_{5} & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \\ I_{E_{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - J_{1} \\ 0 \\ J_{2} \\ E_{2} \end{matrix}]

e non resta che risolvere il sistema.

Voci correlate

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