Lunghezza di un modulo

In matematica, la lunghezza di un modulo è una quantità (un numero naturale oppure infinito) che misura la "grandezza" di un modulo, generalizzando la nozione di dimensione degli spazi vettoriali.

Definizioni equivalenti

Sia $M$ un modulo su un anello $A$. La lunghezza di una catena di sottomoduli è definita come il numero massimo di inclusioni strette: così la catena

$N_0⊊N_1⊊\cdots ⊊N_n$

ha lunghezza $n$. La lunghezza di $M$ su $A$, indicata come ${\ell }_A(M)$ (o $\ell (M)$ se non c'è rischio di confusione) è l'estremo superiore delle lunghezze delle catene di $A$-sottomoduli di $M$.

Esempi

Il modulo $\{0\}$ è l'unico modulo ad avere lunghezza 0, mentre i moduli semplici (ovvero i moduli senza sottomoduli propri) sono gli unici ad avere lunghezza 1. Se l'anello $A$ è un campo, allora le catene di sottomoduli non sono altro che le catene di sottospazi vettoriali; di conseguenza, la lunghezza di $M$ come $A$-modulo coincide con la dimensione di $M$ come spazio vettoriale.

L'anello $\mathbb{Z}$ (o, più in generale, qualsiasi anello la cui dimensione di Krull è maggiore di 1) non ha lunghezza finita su sé stesso: ad esempio, nel caso di $\mathbb{Z}$, dato un intero $n$ arbitrario, la catena

$2^n\mathbb{Z}⊊2^{n-1}\mathbb{Z}⊊\cdots ⊊2\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}$

ha lunghezza $n$.

Moduli di lunghezza finita

Un modulo $M$ è di lunghezza finita se e solo se i suoi sottomoduli verificano contemporaneamente la condizione della catena ascendente e la condizione della catena discendente, ovvero se e solo se è contemporaneamente un modulo noetheriano e un modulo artiniano; in particolare, un anello $A$ è di lunghezza finita su sé stesso se e solo se è artiniano, ovvero noetheriano e di dimensione 0. In tal caso, la lunghezza di $M$ è uguale alla lunghezza di una sua qualsiasi serie di composizione, ovvero di una catena di sottomoduli

$N_0⊊N_1⊊\cdots ⊊N_n=M$

tale che ogni quoziente $N_{i+1}/N_i$ sia un modulo semplice.

Il teorema di Krull-Schmidt garantisce che ogni modulo di lunghezza finita può essere espresso come somma diretta (finita) di una famiglia di moduli indecomponibili.

Successioni esatte

Sia

$0⟶L⟶M⟶N⟶0$

una successione esatta di $A$-moduli. Allora ${\ell }_A(M)={\ell }_A(L)+{\ell }_A(N)$, e in particolare $M$ ha lunghezza finita se e solo se sia $L$ che $N$ hanno lunghezza finita. In particolare, i sottomoduli e i quozienti di un modulo di lunghezza finita sono di lunghezza finita, così come la somma diretta finita $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{M}_i$ di moduli di lunghezza finita; in quest'ultimo caso, la lunghezza della somma è uguale alla somma della lunghezza degli $M_i$.

Esiste inoltre un analogo della formula di Grassmann: se $N,P$ sono sottomoduli di $M$, allora

${\ell }_A(N+P)+{\ell }_A(N\cap P)={\ell }_A(N)+{\ell }_A(P)$.

Bibliografia

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