Lemma di Lax-Milgram

Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali.

Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio di Hilbert con norma $\Vert \cdot \Vert$, sia $b(u,v)$ una forma bilineare su $V$ e sia $F$ un funzionale lineare e continuo che opera su elementi di $V$ (ossia un elemento del duale $V^{*}$ di $V$); si voglia trovare $u\in V$ soluzione del problema variazionale:

$b(u,v)=⟨F,v⟩,\mathrm{\forall }v\in V,$

dove $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ rappresenta la dualità fra $V$ e $V^{*}$. Se la forma bilineare è continua, ossia esiste una costante $C$ positiva tale che:

$|b(u,v)|\le C\Vert u\Vert \Vert v\Vert ,\mathrm{\forall }u,v\in V,$

ed è inoltre coerciva o ellittica, ossia esiste $\alpha$ positiva tale che:

$b(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }^2,\mathrm{\forall }v\in V,$

allora il problema variazionale ammette un'unica soluzione. Si noti come non sia necessaria l'ipotesi che la forma bilineare sia simmetrica. Il lemma di Lax-Milgram fornisce inoltre una stima di stabilità per la soluzione $u$:

$\Vert u\Vert \le \frac{\Vert F{\Vert }_{V^{*}}}{\alpha }.$

Bibliografia

• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
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Voci correlate

• Metodo degli elementi finiti
• Metodo di Galërkin
• Teorema di Babuška-Lax-Milgram

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