Lemma di Knopp

Nella teoria della misura, più precisamente nella teoria ergodica, il lemma di Knopp è un risultato formulato da Konrad Knopp.

Enunciato

Il lemma di Knopp afferma che se Template:Chiarire è un insieme misurabile secondo Lebesgue e $𝒞$ è una classe di sottointervalli di $[0,1)$ tale che

• ogni sottointervallo aperto di $[0,1)$ è unione numerabile di elementi disgiunti di $𝒞$;
• esiste $\gamma >0$ tale che $\lambda (A\cap B)\ge \gamma \lambda (A)$ per ogni $A\in 𝒞$, con $\gamma$ indipendente da $A$ e $\lambda$ la misura di Lebesgue.

Allora $\lambda (B)=1$.

Dimostrazione

Per contraddizione, supponiamo che $\lambda (B^c)>0$. Dato $ϵ>0$ esiste un insieme $E_{ϵ}$ che è unione disgiunta di intervalli aperti tali che $\lambda (B^c\mathrm{\Delta }{E}_{ϵ})<ϵ$. Dalle condizioni (1) e (2), segue che $\lambda (B\cap E_{ϵ})\ge \gamma \lambda (E_{ϵ})$. Dalla scelta di $E_{ϵ}$ e considerando che

$\lambda (B^c\mathrm{\Delta }{E}_{ϵ})\ge \lambda (B\cap E_{ϵ})\ge \gamma \lambda (E_{ϵ})\ge \gamma \lambda (B^c\cap E_{ϵ})>\gamma (\lambda (B^c)-ϵ),$

allora

$\gamma (\lambda (B^c)-ϵ)<\lambda (B^c\mathrm{\Delta }{E}_{ϵ})<ϵ.$

Pertanto $\gamma \lambda (B^c)<ϵ+\gamma ϵ,$ ed essendo $ϵ>0$ arbitrario, si ha una contraddizione.

Esempio di applicazione

Sia $m$ un intero positivo. Consideriamo la funzione $T(x)=mx-\lfloor mx\rfloor$ definita su $[0,1)$. La trasformazione $T$ preserva la misura di Lebesgue:

$T^{-1}[a,b)=\bigcup _{i=0}^{m-1}[\frac{a+i}{m},\frac{b+i}{m}),$

e

$\lambda (T^{-1}[a,b))=b-a=\lambda ([a,b)).$

Dimostriamo l'ergodicità di tale mappa utilizzando il lemma di Knopp. Si noti intanto che:

• $T^n(x)=m^{n}x-\lfloor m^{n}x\rfloor ;$
• $T^n\left([\frac{k}{m^n},\frac{k+1}{m^n})\right)=[0,1)$, per ogni $n\ge 1,0\le k\le m^n-1.$

Sia

$𝒞=\{[\frac{k}{m^n},\frac{k+1}{m^n}):n\ge 1,0\le k\le m^n-1\}.$

Si può verificare che $𝒞$ soddisfa la prima ipotesi del lemma di Knopp. Sia $B\subset [0,1)$ misurabile secondo Lebesgue tale che $T^{-1}B=B$ e $\lambda (B)>0$. Per ogni elemento $A=[\frac{k}{m^n},\frac{k+1}{m^n})\in 𝒞$, vale:

$\lambda (A\cap B)=\lambda (A\cap T^{-n}B)=\frac{1}{m^n}\lambda (B)=\lambda (A)\lambda (B).$

La seconda ipotesi del lemma di Knopp è quindi soddisfatta, prendendo Template:Chiarire

Bibliografia

• Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Peter Walters (1982): An introduction to ergodic theory, Springer, ISBN 0-387-95152-0
• Dajani, Karma: Ergodic Theory of Numbers. Mathematical Association of America, 2014, ISBN 9781614440277