Integrale di Fermi-Dirac completo

In matematica, l'integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice j è definito da

$F_j(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^j}{e^{t-x}+1}dt,(j>-1)$

Questo è uguale a

$-{\mathrm{Li}}_{j+1}(-e^x),$

dove ${\mathrm{Li}}_s(z)$ è il polilogaritmo.

La sua derivata è

$\frac{d{F}_j(x)}{dx}=F_{j-1}(x),$

e questa relazione è usata per definire l'integrale di Fermi-Dirac per indici non positivi j. Notazione diversa per $F_j$ appare in letteratura, ad esempio alcuni autori omettono il fattore $1/\mathrm{\Gamma }(j+1)$. La definizione usata qui corrisponde a quella nel DLMF del NIST.

Valori speciali

La forma chiusa della funzione esiste per j = 0:

$F_0(x)=\ln (1+\exp (x)).$

Bibliografia

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Voci correlate

• Integrale di Fermi-Dirac incompleto
• Funzione gamma
• Polilogaritmo

Collegamenti esterni

• Biblioteca scientifica GNU - Manuale di riferimento
• Calcolatrice integrale Fermi-Dirac per iPhone / iPad
• Note sugli integrali di Fermi-Dirac
• Sezione in NIST Digital Library of Mathematical Functions
• npplus : pacchetto Python che fornisce (tra gli altri) integrali e inverse Fermi-Dirac per diversi ordini comuni.
• Wolfram's MathWorld : definizione data da Wolfram's MathWorld.