Insieme delle soluzioni

Template:F In matematica, un insieme delle soluzioni è l'insieme dei valori che soddisfano una o più equazioni e/o disequazioni.

Per esempio, in un insieme $\{f_i(x)=0\}$ di equazioni polinomiali a coefficienti reali l'insieme delle soluzioni reali è il sottoinsieme di $ℝ$ contenente i numeri che sono zeri di tutti i polinomi, formalmente:

$\{x\in R:\mathrm{\forall }i\in I,f_i(x)=0\}.$

I simboli comunemente usati per indicare l'insieme delle soluzioni sono $S$ o anche $𝕊$. Non si dimentichi che l'insieme delle soluzioni è un sottoinsieme e come tale dipende dall'insieme in cui è contenuto (insieme dei numeri reali $ℝ$, complessi $ℂ$, ecc.). Ad esempio, l'equazione $x^2=-1$ ha insieme delle soluzioni vuoto: $S=\varnothing =\{\},$ per $x\in ℝ,$ ma per $x\in ℂ$ le soluzioni sono due e quindi ha insieme delle soluzioni: $S=\{\pm i\}$.

L'insieme delle soluzioni può:

• avere una sola soluzione;
• avere diverse o infinite soluzioni;
• non avere soluzioni.

Esempi

Equazioni e soluzioni per $x,y\in ℝ$ :

• $x=1,S=\left\{1\right\};$

• $x+2=5,S=\left\{3\right\};$

• $\frac{1}{x^2}=9,S=\{-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\};$

• $x^2\le 4,S=[-2;2]$, l'insieme delle soluzioni è un intervallo;

• $xy=1,S=\{(x;\frac{1}{x})|x\ne 0\}$, l'insieme delle soluzioni è formato da coppie ordinate.

Un sistema di equazioni lineari:

• $\{\begin{array}{ccccc}x& +& 2y& =& 8\\ 2x& +& y& =& 7,\end{array}S=\{(2,3)\}.$

Curiosità

In geometria algebrica, gli insiemi delle soluzioni di equazioni polinomiali sono usati per definire la topologia di Zariski (vedere varietà algebrica).

Voci correlate

• Risoluzione di un'equazione
• Equazione
• Insieme