Inraggio

L'inraggio è il raggio del cerchio inscritto ad un triangolo.

In geometria, l'inraggio è il nome dato nel triangolo al raggio dell'incerchio, ma può essere usato analogamente anche per indicare l'omologo in qualsiasi altro poligono avente circonferenza inscritta; corrisponde però al concetto di apotema nei casi di poligoni regolari.

Per le sue particolarità, moltiplicando l'inraggio per il semiperimetro p si ottiene il valore dell'area del triangolo.

Proprietà

Dato un triangolo ABC si traccino le sue bisettrici fino al reciproco congiungimento, determinando così l'incentro I e l'inraggio r della circonferenza inscritta.
Il raggio tocca i lati del triangolo nei punti di tangenza, formando con essi angoli retti, per cui r può essere considerato l'altezza dei tre triangoli IAB, IBC e IAC rispettivamente di aree:

$S_c=r\cdot AB/2$

$S_a=r\cdot BC/2$

$S_b=r\cdot CA/2$

Dunque l'area S del triangolo ABC sarà pari alla loro somma:

$S=S_a+S_b+S_c=r\cdot (AB+BC+CA)/2$

da cui:

$S=r\cdot p$

ove $p$ è il semiperimetro.

Formule geometriche

Dalla formula di Erone ricaviamo che

$\mathrm{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

ma allora, per la relazione precedentemente trovata, abbiamo che

$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

Formule trigonometriche

$r=(p-a)\tan \frac{\alpha }{2}=(p-b)\tan \frac{\beta }{2}=(p-c)\tan \frac{\gamma }{2}$

Voci correlate

• Incentro
• Incerchio
• Teorema giapponese

Collegamenti esterni

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