Gradino di potenziale

In meccanica quantistica il gradino di potenziale (o salto di potenziale) è un potenziale proporzionale al gradino di Heaviside:

$V(x)=V_0\mathrm{\Theta }(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ V_0& x>0\end{array}$

Gradino di potenziale e soluzioni classiche.

Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per $x<0$ le particelle sono libere, per $x>0$ sono sottoposte ad un potenziale costante $V_0$. Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con $E>V_0$ superano il gradino di potenziale e proseguono con energia minore e quindi con velocità minore; per $E<V_0$ le particelle classiche rimbalzano e riprendono il moto nella direzione opposta. Vedremo che in meccanica quantistica per $E<V_0$ si ha una probabilità non nulla che le particelle si trovino oltre la barriera, mentre, per $E>V_0$ ci possono essere particelle che rimbalzano sulla barriera.

L'equazione di Schrödinger è in generale:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

poiché il potenziale divide la regione in due zone (vedi figura): la prima per $x<0$, la seconda $x>0$, il problema va trattato in ognuna delle due zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione $x=0$.

$\{\begin{array}{cc}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=E\psi (x)& x<0\\ -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)+V_0\psi (x)=E\psi (x)& x>0\end{array}$

Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a ${ℒ}^2(ℝ)$ e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nel punto di discontinuità $x=0$. Bisogna subito chiarire che non esistono soluzioni per $E<0$, mentre si possono presentare i due casi: $E>V_0$ ed $E<V_0$.

• Consideriamo il caso $E>V_0$. Riscriviamo le equazioni:

$\{\begin{array}{cc}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)+k^2\psi (x)=0& x<0\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)+q^2\psi (x)=0& x>0\end{array}$

dove $k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$ e $q^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}$. Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da:

$\{\begin{array}{cc}\psi (x)=A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}& x<0\\ \psi (x)=C{e}^{iqx}+D{e}^{-iqx}& x>0\end{array}$

con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Nel caso $x>0$, si deve porre $D=0$ poiché fisicamente non vi può essere onda di ritorno. Queste funzioni d'onda corrispondono al moto di un fascio di particelle incidenti. Ricordiamo che la densità di corrente di probabilità, associata a una funzione d'onda $\psi$ è definita come:

$J=-\frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{\ast }\frac{d}{dx}\psi -\psi \frac{d}{dx}{\psi }^{\ast })\text{.}$

Dunque, indicando con $J_i$ il flusso di particelle incidenti, che si muovono lungo l'asse x con velocità $v=\hslash k/m$, l'onda piana incidente, per $x<0$, è quella con l'esponenziale positivo:

$J_i=-\frac{i\hslash }{2m}(A^{*}{e}^{-ikx}\frac{d}{dx}A{e}^{ikx}-A{e}^{ikx}\frac{d}{dx}{A}^{*}{e}^{-ikx})=\frac{\hslash k}{m}|A{|}^2.$

Quindi, si deve porre $A=1$, in modo da considerare il flusso unitario di particelle incidenti. Le nostre soluzioni sono:

$\psi (x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}& x<0\\ C{e}^{iqx}& x>0\end{array}$

Le costanti B e C sono fissati dalla condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x=0$; La

$1+B=C$

è dovuta al raccordo delle funzioni d'onda in $x=0$ e la

$k(1-B)=qC$

esprime la continuità delle derivate prime della funzione d'onda.

Ricaviamo B e C:

$B=\frac{k-q}{k+q}$

$C=\frac{2k}{k+q}$

Classicamente il fascio di particelle incidenti attraverserebbe il gradino di potenziale, subendo un'attenuazione della quantità di moto, invece nel caso quantistico si ha una componente riflessa:

$J_r=-\frac{\hslash k}{m}|B{|}^2=-\frac{\hslash k}{m}{\left(\frac{k-q}{k+q}\right)}^2$

cioè un flusso di particelle riflesse con la stessa velocità, in modulo, del flusso incidente $v=\hslash k/m$. Ricordando la definizione del coefficiente di riflessione, R, definito come modulo del rapporto tra $J_r$ e $J_i$, risulta:

$R=|B{|}^2={\left(\frac{k-q}{k+q}\right)}^2$

Una parte del flusso incidente viene riflesso, ma una parte viene trasmessa oltre il gradino di potenziale:

$J_t=\frac{\hslash q}{m}|C{|}^2=\frac{\hslash q}{m}{\left(\frac{2k}{k+q}\right)}^2$

Ricordando la definizione di coefficiente di trasmissione, T, definito come modulo del rapporto tra $J_t$ e $J_i$, otteniamo:

$T=\frac{q}{k}|C{|}^2=\frac{4kq}{(k+q{)}^2}$

dove vale sempre la relazione $R+T=1$.

• Consideriamo ora il caso $E<V_0$, per cui $q^2$ è un numero

immaginario che riscriviamo nella forma

$q^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}=-{\lambda }^2<0\text{.}$

La soluzione dell'equazione di Schrödinger nel caso $x>0$ diventa:

$\psi (x)=C{e}^{-\lambda x}$

infatti l'esponenziale positivo non converge all'infinito. Valgono in tal caso tutti i risultati visti sopra con la sostituzione di $q\to i\lambda$:

$B=\frac{k-i\lambda }{k+i\lambda }$

$C=\frac{2k}{k+i\lambda }$

Soluzioni dell'equazione di Schrödinger per un gradino di potenziale.

In particolare, i coefficienti di riflessione e trasmissione diventano:

$R=\left|\frac{J_r}{J_i}\right|={\left|\frac{k-i\lambda }{k+i\lambda }\right|}^2=1$

$T=\left|\frac{J_t}{J_i}\right|=0,$

essendo $J_t=0$. Si ha come nel caso classico riflessione totale, come c'era da aspettarsi, poiché l'energia è molto minore del potenziale. Tuttavia, si ha una probabilità non nulla che il fascio di particelle attraversi la barriera: questo effetto è chiamato effetto tunnel (si veda anche il caso della barriera di potenziale).

Voci correlate

• Particella libera
• Buca di potenziale
• Oscillatore armonico quantistico
• Barriera di potenziale