Germe di funzione

Template:S In matematica, un germe di funzione (continua, differenziabile o analitica) è una classe di equivalenza di funzioni (continue. differenziabili o analitiche) da uno spazio topologico a un altro (spesso dalla retta reale a se stessa), raggruppate insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato sul loro dominio di definizione. Allo stesso modo, un germe di insiemi è una classe di equivalenza di sottoinsiemi di un dato spazio topologico, raggruppati insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato appartenente alla loro intersezione.

Definizione formale

Due funzioni $f$ e $g$ tra lo stesso spazio topologico $X$ e un insieme $Y$ si dicono equivalenti vicino a un punto $x$ nel loro dominio, se esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ su cui coincidono, cioè

$f(x^{\prime })=g(x^{\prime })\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in U⟺f{|}_U=g{|}_U⟺f{\sim }_{x}g.$

Questa è una relazione di equivalenza sullo spazio $Y^X=\text{Hom}(X,Y)$ delle mappe tra $X$ e $Y$. Per la dimostrazione, è sufficiente notare che l'uguaglianza è usata nella sua definizione: allora la riflessività e la simmetria sono conseguenze immediate. Per la transitività, date le funzioni $f,g,h$ tali che $f=g$ su $U$ e $g=h$ su $V$, allora $f=g=h$ su $U$ ∩ $V$.

Le singole classi di equivalenza si dicono germi di funzioni nel punto $x$ e saranno della forma

$[f{]}_x=\{g\in Y^X\mid f{\sim }_{x}g\}.$

Lo spazio dei germi di funzioni si dice una fibra di funzioni in $x$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Fascio (teoria delle categorie)
• Varietà analitica
• Superficie di Riemann

Collegamenti esterni

• Evgeniǐ Mikhaǐlovich Chirka "Germ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• "Germ of smooth functions Template:Webarchive", Planetmath.org Encyclopedia.
• Dorota Mozyrska, Zbigniew Bartosiewicz"Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces", arxiv.org e-Prints server (Primary site at Cornell University).