Funzione propria

In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

Definizione

Una funzione continua

$f:X\to Y$

fra spazi topologici è propria se la controimmagine $f^{-1}(K)$ di ogni sottoinsieme compatto $K$ di $Y$ è un insieme compatto in $X$.

Successioni divergenti

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

Esempi

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$ è propria. La controimmagine di un compatto connesso $[-a^2,b^2]$ è infatti il compatto $[0,b]$.

Una funzione limitata $f:ℝ\to ℝ$ non è mai propria.

Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione $f:ℝ\to ℝ,f(x)=e^x$, non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo $[0,1]$, che è un compatto, è $(-\mathrm{\infty },0]$ che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione $f:[0,+\mathrm{\infty })\to ℝ,f(x)=e^x$ è propria.

Proprietà

• Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
• Ogni mappa propria ammette grado topologico.

Bibliografia

• Template:En Template:Cita pubblicazione
• Template:En Template:Cita pubblicazione, section C3.2 "Proper maps"
• Template:En Template:Cita pubblicazione, p. 90 "Proper maps".
• Template:En Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Voci correlate

• Funzione aperta
• Funzione chiusa
• Omeomorfismo
• Grado topologico
• Teorema di Sard

Collegamenti esterni

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