Funzione omografica

In matematica, è chiamata funzione omografica una generica funzione di equazione (in forma normale) $y=\frac{ax+b}{cx+d}$.

Discussione

Il grafico della funzione omografica al variare dei parametri a, b, c, d. In rosso è rappresentata una retta parallela all'asse delle x $(a\cdot d=b\cdot c)$, in blu una retta con il coefficiente angolare diverso da zero (c=0), in verde un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti traslata.

• Se $c=0$ allora $y=\frac{a\cdot x}{d}+\frac{b}{d}$, che è l'equazione di una retta di coefficiente angolare $\frac{a}{d}$, che interseca l'asse delle y nel punto di ordinata $\frac{b}{d}$.

• Se il prodotto misto tra i coefficienti $a\cdot d=b\cdot c$, allora si può sostituire $d=\frac{b\cdot c}{a}$ e quindi, raccogliendo a fattor comune, $y=\frac{a(ax+b)}{c(ax+b)}$, che semplificato dà $y=\frac{a}{c}$, ovvero una retta parallela all'asse x che rappresenta l'asintoto orizzontale della funzione omografica (Allo stesso risultato si perviene sfruttando la definizione di limite, cioè $y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(ax+b)}{(cx+d)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x(a+\frac{b}{x})}{x(c+\frac{d}{x})}=\frac{a+0}{c+0}=\frac{a}{c}$ che è l'asintoto orizzontale).

• Se $c\ne 0$ e $a\cdot d\ne b\cdot c$, allora la funzione omografica rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati. In particolare, gli asintoti hanno equazione $y=\frac{a}{c}$ e $x=-\frac{d}{c}$.

Iperbole traslata

Sotto la condizione $c\ne 0$ e $a\cdot d\ne b\cdot c$ è possibile dimostrare che la funzione omografica $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ è ottenuta dalla traslazione di una iperbole equilatera del tipo $f(x)=\frac{k}{x}$ (in forma canonica $xy=k$) che ha gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

Anzitutto si svolge la divisione fra i polinomi a numeratore e a denominatore $(ax+b):(cx+d)$.

Il quoziente è $Q=\frac{a}{c}$ e il resto è $R=\frac{bc-ad}{c}$ e dunque si ottiene

$y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{R}{cx+d}+Q=\frac{\frac{R}{c}}{x+\frac{d}{c}}+Q=\frac{R^{\prime }}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$.

La funzione omografica si ottiene dalla f(x) attraverso:

• una traslazione orizzontale (con origine traslata in $-\frac{d}{c}$) e
• una traslazione verticale di termine $\frac{a}{c}$

Il vettore di traslazione è dunque $\overrightarrow{v}(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$, le equazioni di traslazione sono $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-\frac{d}{c}\\ y^{\prime }=y+\frac{a}{c}\end{array}$