Funzione massimale di Hardy-Littlewood

In analisi matematica, la funzione massimale di Hardy-Littlewood associata a una funzione $f$ assolutamente integrabile (cioè, $f\in L^1(ℝ)$) è la funzione $f^{*}$ definita dalla relazione

$f^{*}(x)=\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{2t}\underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}|f(s)|ds$.

Più in generale, per funzioni multivariate $f\in L^1({ℝ}^{𝕟})$,

$f^{*}(x)=\underset{B}{\sup }\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }|f(s)|ds$,

dove $B$ varia tra le sfere di raggio positivo centrate in $x$ e $|B|$ indica la loro misura.

Poiché $f$ è assolutamente integrabile, per ogni $t>0$ e per ogni $x\in ℝ$, si ha la stima $\frac{1}{2t}\underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}|f(s)|ds\le \frac{1}{2t}2t\Vert f{\Vert }_{L^1}=\Vert f{\Vert }_{L^1}$: $f^{*}$ è quindi ben definita in ogni punto.

Se $f$ è continua, $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{2t}\underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}|f(s)|ds=f(x)$, perciò $f^{*}(x)\ge f(x)$ per ogni $x$ in $ℝ$.

Si osservi che il limite $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{2t}\underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}|f(s)|ds=f(x)$ è alla base della dimostrazione del fatto che la funzione integrale $F$ di una funzione continua $f$ è derivabile e $F^{\prime }=f.$ L'interesse principale nella funzione massimale di Hardy-Littlewood sta nel suo uso nella dimostrazione del Teorema di Lebesgue, che estende parzialmente il risultato precedente al caso in cui $f$ non sia continua.