Funzione di utilità CRRA

La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Adversion), cioè con coefficiente di avversione al rischio relativa costante, è:

U (c_{t}) = \frac{c_{t}^{1 - γ}}{1 - γ} \forall γ > 0, γ \neq 1

U (c_{t}) = \log c_{t} se γ = 1

dove $c_{t}$ indica il livello di consumo al tempo $t$ , $U$ indica il livello di utilità istantanea e $γ$ è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.^[1]

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo $t$ è uguale a:

\frac{\partial U}{\partial c_{t}} = c_{t}^{- γ}

Il saggio marginale di sostituzione intertemporale (SMSI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo $t$ con il consumo al tempo $t + n$ , essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

S M S I_{t, t + n} = {(\frac{c_{t + n}}{c_{t}})}^{γ}

da cui segue:

σ = \frac{d \log (\frac{c_{t + n}}{c_{t}})}{d \log S M S I_{t, t + n}} = \frac{1}{γ}

dove $σ$ è l'elasticità di sostituzione intertemporale, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra $t + n$ e $t$ .

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, $γ$ ; può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione al rischio relativa dato dal rapporto (cambiato di segno) tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

R_{R} (c) = - c_{t} \frac{U^{″} (c_{t})}{U^{'} (c_{t})} = - c_{t} \frac{- γ c_{t}^{- (γ + 1)}}{c_{t}^{- γ}} = γ

Note

↑ Specificazione alternativa ed equivalente della funzione di utilità CRRA è la seguente:
$U (c_{t}) = \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ}$ .
Questa formulazione, mantenendo inalterati elasticità di sostituzione intertemporale e coefficiente relativo di avversione al rischio, permette di evitare la necessità di una diversa forma funzionale nel caso in cui $γ = 1$ . Infatti, nonostante per $γ = 1$ la funzione non sia definita, si ha però:
$\lim_{γ \to 1} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} = \lim_{γ \to 1} \frac{- c_{t}^{1 - γ} \log c_{t}}{- 1} = \log c_{t}$

Bibliografia

Kreps, David (1990) A Course in Microeconomic Theory, New Jersey: Princeton University Press ISBN 0691042640 - (trad. it. (1993) Corso di microeconomia, Bologna: Il Mulino, ISBN 978-88-15-03876-0).
Mas-Colell, Andreu, Whinston, Michael, Green, Jerry (1995) Microeconomic Theory, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0195073401.

Voci correlate

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[1] Specificazione alternativa ed equivalente della funzione di utilità CRRA è la seguente:
$U (c_{t}) = \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ}$ .
Questa formulazione, mantenendo inalterati elasticità di sostituzione intertemporale e coefficiente relativo di avversione al rischio, permette di evitare la necessità di una diversa forma funzionale nel caso in cui $γ = 1$ . Infatti, nonostante per $γ = 1$ la funzione non sia definita, si ha però:
$\lim_{γ \to 1} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} = \lim_{γ \to 1} \frac{- c_{t}^{1 - γ} \log c_{t}}{- 1} = \log c_{t}$

[1]

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