Funzione di Prandtl-Meyer

Variazione nella funzione Prandtl-Meyer ($\nu$) con numero di Mach ($M$) e il rapporto tra i calori specifici ($\gamma$). Le linee tratteggiate mostrano il valore limite ${\nu }_{\text{max}}$ poiché il numero di Mach tende all'infinito.

In aerodinamica la funzione di Prandtl-Meyer descrive l'angolo attraverso il quale un flusso si trasforma isoentropicamente da sonico ($M=1$) a supersonico ($M>1$). L'angolo massimo attraverso il quale un flusso sonico può essere trasformato utilizzando una curva convessa si può calcolare per $M$ tendente a $\mathrm{\infty }$. Per un gas ideale si esprime come segue:

$\begin{array}{cc}\nu (M)& =\int \frac{\sqrt{M^2-1}}{1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2}\frac{dM}{M}\\ & =\sqrt{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}\cdot \arctan \sqrt{\frac{\gamma -1}{\gamma +1}(M^2-1)}-\arctan \sqrt{M^2-1}\end{array}$

Dove $\nu$ è la funzione di Prantl-Meyer, $M$ è il numero di Mach e $\gamma$ è il rapporto tra i calori specifici del gas.

Per convezione la costante d'integrazione viene scelta in modo tale che $\nu (1)=0$.

Al variare del numero di Mach da $1$ a $\mathrm{\infty }$, $\nu$ assume valori da $0$ a ${\nu }_{\text{max}}$, con

${\nu }_{\text{max}}=\frac{\pi }{2}(\sqrt{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}-1)$

Per l'espansione isoentropica,	$\nu (M_2)=\nu (M_1)+\theta$
Per la compressione isoentropica,	$\nu (M_2)=\nu (M_1)-\theta$

dove $\theta$ è il valore assoluto dell'angolo attraverso il quale il flusso ruota, $M$ è il numero di Mach e i pedici 1 e 2 denotano le condizioni iniziali e finali rispettivamente.

Bibliografia

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Voci correlate

• Dinamica dei gas