Funzione di Mittag-Leffler

La funzione di Mittag-Leffler $E_{α, β} (z)$ è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

E_{α, β} (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{Γ (α k + β)}

dove $Γ$ è la funzione Gamma.

Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.

Casi speciali

E_{1, 1} (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{Γ (k + 1)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!} = \exp (z) .

E_{1 / 2, 1} (z) = \exp (z^{2}) erfc (- z) .

E_{0, 1} (z) = \frac{1}{1 - z} .

E_{2, 1} (z) = \cosh (\sqrt{z}) .

E_{α, β} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{t^{α - β} e^{t}}{t^{α} - z} d t

dove C passa per $- \infty$ e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.

M.G. Mittag-Leffler (1903), Une généralisation de l'intégrale de Laplace-Abel, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, 136 pp 537–539.
M.G. Mittag-Leffler (1904), Sur la nouvelle fontion $E_{α} (x)$ , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences 137, pp 554–558.
M.G. Mittag-Leffler (1904), Sopra la funzione $E_{α} (x)$ , Rom. Acc. L. Rend. 13_1, 3-5.
M.G. Mittag-Leffler (1905), Sur la representation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogene, Acta Mathematica, 29, pp 101–181.
Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer, New York, 2014) 443 pages ISBN 978-3-662-43929-6