Funzione di Ljapunov

In matematica, la funzione di Ljapunov, introdotta dal matematico e fisico russo Aleksandr Michajlovič Ljapunov, è una funzione scalare utilizzata per studiare la stabilità di un punto di equilibrio di un sistema dinamico, generalmente descritto da un'equazione differenziale ordinaria autonoma. L'esistenza di una funzione che soddisfa particolari proprietà, la funzione di Ljapunov, garantisce la stabilità di un particolare punto di equilibrio. Condizioni più deboli per la funzione di Ljapunov sono fornite ad esempio dal teorema di LaSalle (in cui non deve essere definita positiva).

Definizione

Dato un sistema dinamico:

$\dot{x}=f(x,t)x=(x_1,\dots x_n)\in {ℝ}^n$

sia $x_0$ un punto fisso (punto di equilibrio):

$f(x_0,t)=0$

dove si è supposto $f:U\times {ℝ}^{+}\to {ℝ}^n$, definita in un intorno $U$ di $x_0\in {ℝ}^n$, una funzione continua e differenziabile con continuità rispetto a $x$.

Una funzione scalare $V:U\to ℝ$ è detta funzione di Ljapunov se:

$V(x)>0x\ne x_0$

$V(x_0)=0$

e:

$\mathrm{\nabla }V(x)\cdot f(x)=\frac{\partial }{\partial x_1}V(x)f_1(x)+\dots +\frac{\partial }{\partial x_n}V(x)f_n(x)\le 0$

Il lemma di Ljapunov stabilisce che se la funzione $V$ esiste, allora il punto di equilibrio $x_0$ è stabile (secondo Ljapunov).

Esempio

Dato il sistema di Lotka-Volterra:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\dot{x}(t)}{x(t)}=a-by(t)& (1)\\ \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}=-c+dx(t)& (2)\end{array}a,b,c,d\in {ℝ}_{+}$

si ha che, moltiplicando $(1)$ per $(-c+dx(t))$ e $(2)$ per $(a-by(t))$ e poi sottraendole, un suo integrale primo è:

$E(x,y)=-c\ln [x(t)]+dx(t)-a\ln [y(t)]+by(t)$

La funzione $V$ definita da:

$V(x,y)=E(x,y)-E(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$

è una funzione di Ljapunov del sistema per il punto $(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$. Infatti:

• $V(\frac{c}{d},\frac{a}{b})=0$

• $(x,y)\ne (\frac{c}{d},\frac{a}{b})⟹V(x,y)>0$ poiché $(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$ è un punto di minimo globale.

• $\mathrm{\nabla }V(x,y)\cdot f(x,y)=\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}{f}_1+\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}{f}_2=0$

Di conseguenza, il punto $(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$ è stabile.

Bibliografia

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Voci correlate

• Punto di equilibrio
• Punto fisso
• Sistema autonomo (matematica)
• Stabilità interna
• Teorema di LaSalle

Collegamenti esterni

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