Funzione di Eulero (forma modulare)

Modulo di φ nel piano complesso, colorato in modo che nero=0, rosso=4

In matematica, la funzione di Eulero, dal matematico svizzero Leonhard Euler, è definita come

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k),$

per |q| < 1. È un esempio di q-serie, una forma modulare, e fornisce un tipico esempio di relazione tra la combinatoria e l'analisi complessa.

Proprietà

Il coefficiente $p(k)$ nell'espansione in serie formale di potenze di $1/\varphi (q)$, coincide col numero di partizioni di k. In simboli,

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k,$

dove $p(k)$ è la funzione di partizione di k.

Inoltre, il teorema dei numeri pentagonali di Eulero si può riscrivere come

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2},$

e, in particolare, si noti che $(3n^2-n)/2$ è un numero pentagonale.

La funzione di Eulero è collegata alla funzione eta di Dedekind attraverso un'identità di Ramanujan nel seguente modo:

$\varphi (q)=q^{-\frac{1}{24}}\eta (\tau ),$

dove $q=e^{2\pi i\tau }$ ed entrambe le funzioni hanno la simmetria del gruppo modulare.

Bibliografia

• Apostol, Tom M.(1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3