Funzione di Carmichael

In matematica, e in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael $\lambda (n)$ è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Daniel Carmichael (1879-1967).

Definizione

La funzione di Carmichael associa a ogni intero positivo $n$ un intero positivo $\lambda (n)$, definito come il più piccolo intero positivo $m$ tale che

$a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

per ogni intero $a$ coprimo con $n.$

Calcolo della funzione di Carmichael

Sia $n$ intero positivo e sia $n=p_1^{a_1}\cdot \dots \cdot p_r^{a_r}$ la fattorizzazione in primi di $n$. Si ha:

$\lambda (n)=\mathrm{mcm}(\lambda (p_1^{a_1}),\lambda (p_2^{a_2}),\dots ,\lambda (p_k^{a_k})),$

dove $\mathrm{mcm}$ indica il minimo comune multiplo in $\mathbb{Z}$.

Il teorema di Carmicheal indica come calcolare $\lambda (n)$ se $n=p^k,$ con $p$ primo e $k$ intero positivo:

$\lambda (p^k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\phi (p^k)& \text{se }p=2\text{ e }k\ge 3,\\ \phi (p^k)& \text{altrimenti,}\end{array}$

dove $\phi$ è la funzione φ di Eulero che per una potenza di un primo è data da:

$\phi (p^k)=p^{k-1}(p-1).$

Proprietà

Sia $\phi$ la funzione φ di Eulero, si ha che $\lambda (n)$ è un divisore di $\phi (n)$.

Si ha che $\lambda (n)$ è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini degli elementi) del gruppo delle unità, ossia del (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Voci correlate

• Minimo comune multiplo
• Numero di Carmichael
• Numero primo
• Funzione φ di Eulero

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni