Funzione associata di Legendre

I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai polinomi di Legendre, il cui impiego è particolarmente utile nella descrizione delle armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in meccanica quantistica.

Definizione

Sia $l$ un intero naturale, $P_l(u)$ il polinomio di Legendre di ordine $l$ ed $m$ un intero compreso tra $0$ ed $l$. Si definiscono le funzioni associate di Legendre come:

$P_{lm}(u)=(1-u^2{)}^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{d{u}^m}{P}_l(u)$

ovvero

$P_{lm}(u)=\frac{(-1{)}^l}{2^{l}l!}(1-u^2{)}^{\frac{m}{2}}\frac{d^{l+m}}{d{u}^{l+m}}(1-u^2{)}^l$

Si estende la definizione a valori negativi del secondo indice tramite l'espressione

$P_{l,-m}(u)=(-1{)}^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}{P}_{lm}(u)$

che conduce a

$P_{lm}(u)=(-1{)}^{l+m}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{(1-u^2{)}^{-\frac{m}{2}}}{2^{l}l!}\frac{d^{l-m}}{d{u}^{l-m}}(1-u^2{)}^l$

Queste definizioni permettono poi di esprimere le armoniche sferiche in funzione delle funzioni associate tramite la relazione

$Y_l^m(\theta ,\phi )=(-1{)}^m{\left\{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right\}}^{\frac{1}{2}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

per valori positivi di $m$. Le armoniche sferiche con valori di $m$ negativi sono tutte a coefficiente positivo (senza considerare quindi il comportamento del Polinomio di Legendre e della funzione esponenziale) e si ottengono dalla seguente relazione

$Y_l^{-m}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m(Y_l^m(\theta ,\phi ){)}^{*}$

Ne consegue quindi che per valori di $m$ negativi le armoniche sferiche sono identiche alle stesse con $m$ positivi fuorché in alcuni aspetti:

1) il segno del coefficiente è sempre positivo, anziché a segni alterni, poiché il termine $(-1{)}^m$ nell'armonica sferica moltiplica lo stesso $(-1{)}^m$ presente nella relazione sopra;

2) la funzione esponenziale ha il segno dell'esponente invertito, perché si richiede il complesso coniugato dell'armonica sferica. Ciò non grava sul polinomio di Legendre perché esso è a variabile reale.

Voci correlate

• Polinomi di Legendre
• Armoniche sferiche
• Meccanica quantistica

Collegamenti esterni

• Legendre Polynomial in MathWorld