Funzione Xi di Riemann

Funzione $\xi (s)$di Riemann nel piano complesso. Il colore di un punto $s$ codifica il valore della funzione. I colori più scuri indicano valori più vicini a zero e la tonalità codifica l'argomento del valore.

In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

Definizione

La funzione $\xi$ (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione $\xi$ fu definita, infatti, da Landau come:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

per $s\in ℂ$, con $\zeta (s)$ che indica la funzione zeta di Riemann e $\mathrm{\Gamma }(s)$ la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la $\mathrm{\Xi }$ di Landau è $\xi (1-s)=\xi (s).$

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau in funzione $\mathrm{\Xi }$ come $\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi),$ che obbedisce all'equazione funzionale $\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$

Si noti che la funzione $\mathrm{\Xi }$ sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola $\xi$. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

Valori

La forma generale per numeri interi pari positivi è

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{n!}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n-1)$

dove B _n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per $n=1$ si ha $\xi (2)=\frac{\pi }{6}.$

Rappresentazioni in serie

La funzione $\xi$ ha la seguente espansione in serie

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

dove

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$ e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di $|\mathrm{\Im }(\rho )|.$

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere ${\lambda }_n>0,\mathrm{\forall }n>0.$

Prodotto di Hadamard

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

$\xi (s)=\frac{1}{2}\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho }),$ dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma $\rho$ e $1-\rho$ dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.

Bibliografia

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