Funzionale di Minkowski

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un funzionale di Minkowski è una funzione che richiama il concetto di distanza tipico degli spazi vettoriali.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale reale o complesso $X$ ed un suo sottoinsieme $K$, si definisce il corrispondente funzionale di Minkowski:

$p_K:X\to [0,\mathrm{\infty })$

come:

$p_K(x)=\inf \{r>0:x\in rK\}$

Tale funzionale è spesso detto gauge di $K$.

Si assume implicitamente nella definizione che $0\in K$ e che l'insieme $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto. Affinché $p_K$ goda delle proprietà di una seminorma è necessario imporre alcune restrizioni sulla scelta di $K$:

• L'insieme $K$ è un insieme convesso, in modo che $p_K$ è subadditiva.
• Se $K$ è un insieme bilanciato, ovvero $\alpha K\subset K$ per tutti gli $|\alpha |\le 1$, si ha che $p_K(\alpha x)=|\alpha |p_K(x)$ per ogni $\alpha$, in modo che $p_K$ è omogenea.

Un insieme $K$ con tali proprietà è detto assolutamente convesso.

Ad esempio, si consideri uno spazio normato $X$ con norma $\Vert \cdot \Vert$, e sia $K^{\prime }$ la sfera unitaria in $X$. La funzione $p:X\to ℝ$ data da:

$p(x)=\inf \{r>0:x\in r{K}^{\prime }\}$

è la norma $p(x)=\Vert x\Vert$ su $X$. Si tratta di un esempio di funzionale di Minkowski.

Convessità e bilanciatezza di K

Il fatto che $K$ è un insieme convesso implica la subadditività di $p_K$. Infatti, si supponga che $p_K(x)=p_K(y)=r$. Allora per tutti gli $ϵ>0$ si ha $x,y\in (r+ϵ)K=K^{\prime }$. L'assunzione che $K$ sia convesso implica che lo è anche $K^{\prime }$, e quindi $x/2+y/2\in K^{\prime }$. Per definizione di funzionale di Minkowski $p_K$ si ha:

$p_K(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y)\le r+ϵ=\frac{1}{2}{p}_K(x)+\frac{1}{2}{p}_K(y)+ϵ$

Ma il membro di sinistra è $1/2[p_K(x+y)]$, cioè la precedente relazione diventa:

$p_K(x+y)\le p_K(x)+p_K(y)+ϵ\mathrm{\forall }ϵ>0$

che è la disuguaglianza cercata. Il caso generale $p_K(x)>p_K(y)$ segue in modo ovvio.

Si nota che la convessità di $K$, insieme all'assunzione che $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto, implica che $K$ è un insieme assorbente.

Il fatto che $K$ sia bilanciato implica inoltre che $\lambda x\in rK$ se e solo se $x\in (r/|\lambda |)K$, e quindi:

$p_K(\lambda x)=\inf \{r>0:\lambda x\in rK\}=\inf \{r>0:x\in \frac{r}{|\lambda |}K\}=\inf \{|\lambda |\frac{r}{|\lambda |}>0:x\in \frac{r}{|\lambda |}K\}=|\lambda |p_K(x)$

Esempio

Dato uno spazio vettoriale $X$ sul campo $F$, sia $X^{\prime }$ il suo duale algebrico e siano $\varphi \in X^{\prime }$ i funzionali lineari definiti su $X$ che lo costituiscono. Si consideri l'insieme $K$ dato da:

$K=\{x\in X:|\varphi (x)|\le a\}a>0$

e si definisca:

$p(x)=\inf \{r>0:x\in rK\}$

Allora:

$p(x)=\frac{1}{a}|\varphi (x)|$

La funzione (non-negativa) $p(x)$ è un esempio di funzionale di Minkowski che è:

• subadditivo, ovvero $p(x+y)\le p(x)+p(y)$.
• omogeneo, ovvero $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ per tutti gli $\alpha \in K$.

Quindi $p$ è una seminorma su $X$, che lo munisce di una topologia. Si nota che $p(x)=0$ non implica $x=0$, e di conseguenza la topologia risultante da una famiglia di tali seminorme non è di Hausdorff.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione subadditiva
• Insieme convesso
• Seminorma
• Spazio botte

Collegamenti esterni

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