Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse $x$ l'asse dei reali e l'asse $y$ l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx),$

valida per ogni numero reale $x$, con $n$ intero e $i$ unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per $\cos (nx)$ e $\sin (nx)$ in termini di $\sin (x)$ e $\cos (x)$. Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici $n$-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi $z$ tali che $z^n=1$.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

e dalla legge esponenziale

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}.$

Dimostrazione per induzione

Distinguiamo i tre casi relativi a $n>0$, $n=0$ e $n<0$.

Per $n>0$ si procede per induzione. Per $n=1$ la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo $k$, cioè assumiamo

$(\cos x+i\sin x{)}^k=\cos (kx)+i\sin (kx).$

Consideriamo poi il caso $n=k+1$:

$(\cos x+i\sin x{)}^{k+1}$

$=(\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x{)}^k$

$=[\cos (kx)+i\sin (kx)](\cos x+i\sin x)$ (per l'ipotesi induttiva)

$=\cos (kx)\cos x-\sin (kx)\sin x+i[\cos (kx)\sin x+\sin (kx)\cos x]$

$=\cos [(k+1)x]+i\sin [(k+1)x]$ (per le formule di addizione di seno e coseno).

L'ultima identità dice che la formula, se vale per $n=k$ allora è valida per $n=k+1$ e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli $n$ interi positivi.

Per $n=0$ la formula si riduce alla semplice identità $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$, e $z^0=1$.

Per $n<0$, si considera l'intero positivo $m=-n$. Di conseguenza

$(\cos x+i\sin x{)}^n=(\cos x+i\sin x{)}^{-m}$

$=\frac{1}{(\cos x+i\sin x{)}^m}=\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}$, per quanto vale per $n>0$; razionalizzando il denominatore

$=\frac{\cos (mx)-i\sin (mx)}{{\cos }^2(mx)+{\sin }^2(mx)}=\cos (mx)-i\sin (mx),$ e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,

$=\cos (-mx)+i\sin (-mx)=\cos (nx)+i\sin (nx)$

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di $n$.

Generalizzazione

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente:

Se $z$ e $w$ sono numeri complessi, allora

${(\cos z+i\sin z)}^w$

assume più di un valore, mentre

$\cos (wz)+i\sin (wz)$

ha un solo valore. Comunque sia, $\cos (wz)+i\sin (wz)$ è uno dei valori di ${(\cos z+i\sin z)}^w.$

Radici di un numero complesso

Se $n$ è un intero positivo, le radici $n$-esime di un numero complesso $z$ sono esattamente $n$, calcolabili tramite l'applicazione inversa della formula di de Moivre, che, se il modulo e l'argomento di $z$ sono rispettivamente $r$ e $\theta$, assume la seguente forma:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)),k=0,1,\dots ,n-1.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Abraham de Moivre
• Isaac Newton
• Eulero
• Numeri complessi
• Trigonometria
• Polinomi di Chebyshev

Collegamenti esterni

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