Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Enunciato

Sia $\{a(n)\}$ una funzione aritmetica, e sia

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per $\mathrm{\Re }(s)>{\sigma }_a$. Allora la formula di Perron afferma che

$A(x)={\sum _{n\le x}}^{\star }a(n)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}g(z)\frac{x^z}{z}dz$,

per ogni $x>0$ e $c>{\sigma }_a$. In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando $x$ è un intero.

Dimostrazione

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x)x^{-(s+1)}dx.$

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile $x=e^t$. La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

Esempi

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}dx$

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

$L(s,\chi )=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{A(x)}{x^{s+1}}dx$

dove

$A(x)=\sum _{n\le x}\chi (n)$

e $\chi (n)$ è un carattere di Dirichlet.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione aritmetica
• Trasformata di Mellin