Formula di Cauchy per integrazioni ripetute

In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.

Enunciato

Sia $f$ una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto

$f^{(-n)}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)d{\sigma }_n\cdots d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1$

è dato dal singolo integrale

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{(x-y)}^{n-1}f(y)dy$.

Dimostrazione

La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché $f$ è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}^{(-1)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$;

dove

$f^{(-1)}(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0$.

Ora, supposto questo vero per $n$, non resta che provarlo per $n+1$ . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t$.

Allora, applicando l'ipotesi induttiva,

$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }_1}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t\end{array}$

e questo completa la dimostrazione.

Applicazioni

Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare $(n-1)!$ come $\mathrm{\Gamma }(n)$ (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.

Bibliografia

• Template:En Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2

Collegamenti esterni

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