Formula di Abel-Plana

In matematica, la formula di Abel-Plana è un tipo di sommatoria scoperta per vie indipendenti da Niels Henrik Abel nel 1823, e da Giovanni Antonio Amedeo Plana nel 1820. La formula è la seguente:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx+\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}dt.$

Essa vale per una funzione f che è olomorfa nella regione Re(z) ≥ 0, e che soddisfa una opportuna condizione di crescita nella stessa regione; ad esempio, è sufficiente assumere che |f(z)| è limitata da C/|z|^1+ε in questa regione per alcune costanti C, ε > 0, sebbene la formula continui a valere anche con limiti molto meno ristretti.

Un esempio è fornito dalla Funzione zeta di Hurwitz:

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+\alpha {)}^s}=\frac{{\alpha }^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2{\alpha }^s}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan \frac{t}{\alpha })}{({\alpha }^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}}\frac{dt}{e^{2\pi t}-1}.$,

valida per $\mathrm{\forall }s\in ℂ$. Per $\alpha =1$, otteniamo la funzione zeta di Riemann, che possiamo scrivere nel modo seguente:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan \left(y\right))}{(y^2+1{)}^{\frac{s}{2}}}\frac{dy}{e^{2\pi y}-1},$

valida anch'essa $\mathrm{\forall }s\in ℂ$.
Abel elaborò questa variante per somme alternate:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{2\sinh (\pi t)}dt.$

Una somma alternata converge se e solo se converge la sequenza di somme parziali interna associata.

Note

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Voci correlate

• Formula di Eulero-Maclaurin

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