Forme di Chern-Simons

In matematica, le forme di Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.

Definizione

Data una varietà differenziabile e una 1-forma A su di essa a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:

In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:

$Tr[𝐀]$.

In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:

$Tr[𝐅\wedge 𝐀-\frac{1}{3}𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀]$.

In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:

$Tr[𝐅\wedge 𝐅\wedge 𝐀-\frac{1}{2}𝐅\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀+\frac{1}{10}𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀]$

dove si definisce la curvatura come:

$𝐅=d𝐀+𝐀\wedge 𝐀$.

La forma generale di Chern-Simons ω_2k-1 si definisce in maniera tale che dω_2k-1 = Tr (F^k) dove si utilizza per definire F^k il prodotto wedge.

Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.

In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.

Bibliografia

• Chern, S.-S.; Simons, J (1974), Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69
• Pilo Luigi, ChernSimons field theory and invariants of 3manifolds, Scuola Normale Superiore (collana Tesi), pag 222, 1999, ISBN 978-88-7642-278-2

Voci correlate

• Algebra di Grassmann
• Forma differenziale
• Teoria di gauge

Collegamenti esterni

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