Classi caratteristiche

Le classi caratteristiche sono degli invarianti topologici di fibrati.

Classi caratteristiche di fibrati vettoriali

Sia $X$ una varietà. Si fissi un campo $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ e un numero naturale $n \in ℕ$ .

È possibile dimostrare che esiste uno spazio topologico, detto classificante, il cui tipo di omotopia è denotato come $B G L (n, 𝕂)$ , tale che le classi di isomorfismo di fibrati vettoriali sul campo $𝕂$ , di rango $n$ e base $X$ , sono in bijezione con le classi di omotopia di mappe $X \to B G L (n, 𝕂)$ . Più concisamente, denotando con $V e c t (X, n, 𝕂)$ le classi di isomorfismo di detti fibrati vettoriali, esiste una bijezione

Φ : V e c t (X, n, 𝕂) \to [X, B G L (n, 𝕂)] .

Segue, usando $Φ$ , che è possibile pensare ai suddetti fibrati vettoriali (a meno di isomorfismo) come a mappe $X \to B G L (n, 𝕂)$ .

Adesso per ogni classe di coomologia $ω \in H^{k} (B G L (n, 𝕂); R)$ dove $k \in ℕ$ ed $R$ è un anello abeliano, possiamo costruire un invariante di fibrati vettoriali come sopra.

L'invariante associa ad un fibrato $f : X \to B G L (n, 𝕂)$ la classe di coomologia $f^{*} ω \in H^{k} (X; R)$ (il pull-back di $ω$ ). Dato che tale classe dipende solo dal tipo di omotopia della funzione $f$ , abbiamo invero ottenuto un invariante del tipo di isomorfismo del fibrato vettoriale associato.

Le classi di coomologia del tipo $f^{*} ω \in H^{k} (X; R)$ sono dette classi caratteristiche del fibrato.

Esempi

Nel caso di fibrati in rette complessi, si ha che $H^{*} (B G L (1, ℂ); ℤ) ≃ ℤ [c_{1}]$ , ovvero la coomologia dello spazio classificante è isomorfa all'anello dei polinomi in una variabile $c_{1}$ di grado $2$ . La classe caratteristica dei fibrati in rette associata a $c_{1}$ è detta prima classe di Chern del fibrato. Un fibrato in rette $E \to X$ è banale se e solo se la prima classe di Chern $c_{1} (E) \in H^{2} (X; ℤ)$ è nulla.

Se $E \to X$ è un fibrato in rette (complesso) su una varietà liscia, orientata. È possibile calcolare $c_{1} (E) \in H^{2} (X; ℤ)$ , nel seguente modo. Sia $σ : X \to E$ una sezione generica. L'intersezione $S = σ (X) \cap X$ , dove stiamo identificando $X$ con la zero sezione di $E$ , è una sottovarietà orientabile di codimensione due in $X$ . Il duale di Poincarè della classe fondamentale di $S$ è proprio $c_{1} (E)$ (per una opportuna scelta di orientazione di $S$ ).

Più in generale $H^{*} (B G L (n, ℂ); ℤ) ≃ ℤ [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]$ dove $c_{k}$ ha grado $2 k$ . La classe caratteristica associata a $c_{k}$ è detta $k$ -esima classe di Chern del fibrato. Tali classi rappresentano un'ostruzione a banalizzare il fibrato.

Teoria di Chern-Weyl

Nel caso in cui $E \to X$ sia un fibrato vettoriale su una varietà liscia, è possibile trovare dei rappresentanti delle classi caratteristiche (a coefficienti reali) nella coomologia di de Rham. Tale costruzione, oggetto della cosiddetta teoria di Chern-Weyl, costruisce una forma differenziale chiusa su $X$ a partire dalla curvatura di una connessione (qualunque) sul fibrato tramite speciali polinomi.

Generalizzazioni

È possibile generalizzare il discorso ai fibrati principali di gruppo $G$ . In questo caso lo spazio classificante si denota con $B G$ e le classi caratteristiche sono ottenute considerando il pull-back di elementi di $H^{*} (B G; R)$ .

Un'altra possible generalizzazione riguarda la base dei fibrati in questione. Per semplicità ci siamo limitati a supporre che $X$ sia una varietà. Tuttavia è possibile ampliare il discorso a spazi topologici più generali, estendendo in maniera opportuna la definizione di fibrato vettoriale.

Bibliografia

Voci correlate

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