Forma di Nielsen

La Forma di Nielsen è una rappresentazione alternativa delle equazioni di Lagrange del I tipo, che vengono scritte come

$\frac{\partial \dot{T}}{\partial {\dot{q}}_j}-2\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j$

La dimostrazione dell'equivalenza si ottiene utilizzando la regola della catena. Infatti, detta ${\delta }_{ij}$ la delta di Kronecker, dalle equazioni di Lagrange del I tipo:

$Q_j=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=$

$=\sum _i[\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}{\dot{q}}_i+\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_i}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}{\ddot{q}}_i]-\frac{\partial T}{\partial q_j}=$

$=\sum _i[\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right){\dot{q}}_i+\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}\right){\ddot{q}}_i]+\frac{\partial T}{\partial q_j}-2\frac{\partial T}{\partial q_j}=$

$=\sum _i[\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right){\dot{q}}_i+\frac{\partial T}{\partial q_i}{\delta }_{ij}+\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}\right){\ddot{q}}_i+\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{\partial {\ddot{q}}_i}{\partial {\dot{q}}_j}]-2\frac{\partial T}{\partial q_j}=$

$=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\sum _i[\frac{\partial T}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i]-2\frac{\partial T}{\partial q_j}=$

$=\frac{\partial \dot{T}}{\partial {\dot{q}}_j}-2\frac{\partial T}{\partial q_j}$

utilizzando le relazioni:

$\frac{\partial {\ddot{q}}_i}{\partial {\dot{q}}_i}=0$

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\frac{\partial T}{\partial q_i}=\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}$

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_i}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}$.