Estrazione di una base

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'estrazione di una base è un algoritmo che permette di estrarre una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori dello spazio.

Il teorema di estrazione di una base

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su un campo $K$. Il teorema di estrazione di una base asserisce che se ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k$ sono vettori che generano $V$, allora:

• Il numero $k$ è maggiore o uguale a $n$.
• Esistono $n$ vettori ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ che formano una base di $V$.

Dimostrazione e algoritmo

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$. L'algoritmo funziona nel modo seguente: per ogni $i=1,\dots ,k$, si controlla se il vettore $i$-esimo ${𝐯}_i$ è dipendente dai precedenti. Questo accade se e solo se:

${𝐯}_i\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_{i-1})$

Se un vettore è linearmente dipendente dagli altri si elimina dalla lista, altrimenti, si tiene. Per $i=1$, non ci sono vettori precedenti e si considera quindi lo span come l'insieme formato dal solo vettore nullo: quindi il primo vettore viene tenuto solo se diverso da zero. Il risultato finale è quindi un insieme di vettori indipendenti che continuano a generare $V$, ossia, per definizione, una base di $V$.

Esempio

Si estrae una base di ${ℝ}^3$ dall'insieme :

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Controesempio

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo $\mathbb{Z}$-modulo libero $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. Allora si può verificare che $(3,1),(2,0),(0,1)$ generano tutto $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ ma né $(3,1),(2,0)$, né $(3,1),(0,1)$ né $(2,0),(0,1)$ sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello $\mathbb{Z}$-modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo $\mathbb{Z}$-modulo libero $\mathbb{Z}$ scegliendo ad esempio $2,3$ come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.

Bibliografia

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Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Completamento a base
• Copertura lineare
• Spazio vettoriale