Completamento a base

In matematica, in particolare in algebra lineare, il completamento a base è un algoritmo utile a completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base dello spazio.

Il teorema di completamento della base

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$, di dimensione $n$. Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k$ sono vettori linearmente indipendenti in $V$ si ha:

• Il numero $k$ è minore o uguale a $n$.
• Se $k<n$ allora esistono $n-k$ vettori ${𝐯}_{k+1},\dots ,{𝐯}_n$ tali che l'insieme ordinato ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k,{𝐯}_{k+1},\dots ,{𝐯}_n$ è base di $V$.

Dimostrazione e algoritmo

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori ${𝐯}_{k+1},\dots ,{𝐯}_n$. Sia ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k$ un sottoinsieme di $V$ composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota ${𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n$ dello spazio $V$. Si ottiene quindi l'insieme ordinato:

$S=({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k,{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n)$

L'insieme $S$ genera tutto lo spazio $V$, ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi $k$ sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori ${𝐰}_i$, ottenendo una base contenente ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k$.

Esempio

I vettori $(2,1,0)$ e $(1,1,0)$ in ${ℝ}^3$ sono indipendenti. Quindi esiste un terzo vettore che forma una base con questi due, e può essere trovato usando l'algoritmo di completamento. Si aggiunge quindi ai due vettori la base canonica:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

L'algoritmo di estrazione mantiene i primi due vettori, quindi elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due: A - B = C, -1 (A) + 2 B = D), e tiene di conseguenza il quinto. Si ottiene quindi la base:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Estrazione di una base
• Indipendenza lineare
• Span lineare