Estrapolazione di Richardson

LTemplate:'estrapolazione di Richardson è un metodo che permette la costruzione di approssimazioni numeriche di ordine superiore a partire da formule di ordine inferiore. Prende il nome da Lewis Fry Richardson, che introdusse il metodo agli inizi del XX secolo, ed è una tecnica importante in analisi numerica, definita da alcuni autori come un metodo per "trasformare il piombo in oro" e "la cui importanza difficilmente può essere sopravvalutata".

Applicazioni dell'estrapolazione di Richardson includono il metodo di Romberg, che applica l'estrapolazione di Richardson alla regola del trapezio, e l'algoritmo di Bulirsch-Stoer per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie.

Formulazione

Sia data una funzione $A^{*}$ e una sua approssimazione numerica $A(h)$ con passo $h$ e errore di troncamento di ordine $O(h^{k_0})$

$A^{*}=A(h)+e$

il cui residuo $e=O(h^{k_0})$ ha forma

$e=C_0{h}^{k_0}+C_1{h}^{k_1}+C_2{h}^{k_2}+\cdots$

dove $C_i$ sono costanti ignote e $k_i$ sono costanti note e tali che $k_{i+1}>k_i\mathrm{\forall }i$.

Applicando l'approssimazione $A$ con passo $\frac{h}{t}$, dove $t>0$ è una costante arbitraria, si ottiene

$A^{*}=A\left(\frac{h}{t}\right)+C_0{\left(\frac{h}{t}\right)}^{k_0}+O\left(h^{k_1}\right).$

Moltiplicando entrambi i membri per $t^{k_0}$ e sottraendo la formula originale

$A^{*}=A(h)+C_0{h}^{k_0}+O(h^{k_1})$

il termine di errore di ordine $k_0$ si cancella

$t^{k_0}{A}^{*}-A^{*}=t^{k_0}A\left(\frac{h}{t}\right)-A(h)+\cancel{t^{k_0}{C}_0{\left(\frac{h}{t}\right)}^{k_0}}-\cancel{C_0{h}^{k_0}}+O(h^{k_1})$

ottenendo una nuova formula di ordine $k_1>k_0$

$A^{*}=\frac{t^{k_0}A\left(\frac{h}{t}\right)-A(h)}{t^{k_0}-1}+O(h^{k_1})$

Il metodo può essere applicato ricorsivamente, costruendo una successione di formule

$A_{i+1}(h)=\frac{t^{k_0}{A}_i\left(\frac{h}{t}\right)-A_i(h)}{t^{k_0}-1}$

con $A_0(h)=A(h)$, tale che $A^{*}=A_i(h)+O(h^{k_i})$.

Bibliografia

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Ivan Dimov, Zahari Zlatev, Istvan Farago, Agnes Havasi: Richardson Extrapolation: Practical Aspects and Applications, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, Template:ISBN (2017).

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnFundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications Template:Webarchive, mit.edu
• Template:EnRichardson-Extrapolation
• Template:EnRichardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia)