Equazioni di Rabinovič-Fabrikant

Le equazioni di Rabinovič-Fabrikant sono un insieme di tre equazioni differenziali ordinarie accoppiate che mostrano un comportamento caotico per determinati valori dei parametri. Prendono il loro nome dai fisici sovietici Michail Rabinovič e Anatolij Fabrikant, che le hanno descritte nel 1979.

Descrizione del sistema

Le equazioni sono:

$\dot{x}=y(z-1+x^2)+\gamma x$

$\dot{y}=x(3z+1-x^2)+\gamma y$

$\dot{z}=-2z(\alpha +xy),$

dove α, γ sono costanti che controllano l'evoluzione del sistema. Per alcuni valori di α e γ, il sistema è caotico, ma per altri tende a un'orbita periodica stabile.

Danca e Chen sottolineano quanto il sistema Rabinovič-Fabrikant sia difficile da analizzare (a causa della presenza di termini quadratici e cubici) e che è possibile ottenere attrattori diversi per gli stessi parametri utilizzando diverse grandezze nell'integrazione. Inoltre, recentemente, è stato scoperto un attrattore nascosto nel sistema Rabinovič-Fabrikant.

Punti di equilibrio

Grafico delle regioni per cui i punti di equilibrio ${\widetilde{𝐱}}_{1,2,3,4}$ esiste.

Il sistema Rabinovič-Fabrikant ha cinque punti di equilibrio iperbolico, uno all'origine e quattro dipendenti dai parametri di sistema α e γ :

${\widetilde{𝐱}}_0=(0,0,0)$

${\widetilde{𝐱}}_{1,2}=(\pm q_{-},-\frac{\alpha }{q_{-}},1-(1-\frac{\gamma }{\alpha })q_{-}^2)$

${\widetilde{𝐱}}_{3,4}=(\pm q_{+},-\frac{\alpha }{q_{+}},1-(1-\frac{\gamma }{\alpha })q_{+}^2)$

dove

$q_{\pm }=\sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1-\gamma \alpha (1-\frac{3\gamma }{4\alpha })}}{2(1-\frac{3\gamma }{4\alpha })}}$

Questi punti di equilibrio esistono solo per determinati valori di α e γ > 0.

γ = 0.87, α = 1.1

Un esempio di comportamento caotico è ottenuto per γ = 0.87 e α = 1.1 con condizioni iniziali di (-1, 0, 0.5). La dimensione di correlazione è risultata pari a 2,19 ± 0,01. Gli esponenti di Ljapunov, λ sono approssimativamente 0.1981, 0, -0.6581 e la dimensione di Kaplan-Yorke, D _KY ≈ 2.3010

γ = 0,1

Danca e Romera hanno mostrato che per γ = 0,1, il sistema è caotico per α = 0,98, ma progredisce su un ciclo limite stabile per α = 0,14.

Diagramma parametrico 3D della soluzione delle equazioni Rabinovič-Fabrikant per α = 0,14 e γ = 0,1 (il ciclo limite è mostrato dalla curva rossa)

Bibliografia

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Voci correlate

• Teoria del caos

Collegamenti esterni

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• Chaotics modella un approccio più appropriato al grafico caotico del sistema "Rabinovich-Fabrikant Equation"