Equazione differenziale di Bernoulli

Template:Nota disambigua In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

$y^{\prime }+f(x)y=g(x)y^n$

con $n$ costante. Se $x_0\in (a,b)$ e:

$\{\begin{array}{c}z:(a,b)\to (0,\mathrm{\infty })\alpha \in ℝ\setminus \{1,2\}\\ z:(a,b)\to ℝ\setminus \{0\}\alpha =2\end{array}$

è una soluzione dell'equazione lineare:

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)$

allora si ha che $y(x):=[z(x){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$ è una soluzione di:

$y^{\prime }(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)y(x_0)=y_0:=[z(x_0){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione $y\equiv 0$ per $y_0=0$ per ogni $\alpha >0$.

Metodo di risoluzione

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per $n=1$ o $n=0$ l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per $y^n$ (tenendo conto del fatto che, per $n>0$, $y=0$ rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per $n<0$ la funzione $y$ deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

$\frac{1}{y^n}\frac{dy}{dx}+\frac{f(x)}{y^{n-1}}=g(x)$

Si effettua poi la sostituzione $w=1/y^{n-1}$, da cui:

$w^{\prime }=\frac{1-n}{y^n}\frac{dy}{dx}$

si ha:

$w^{\prime }+w(1-n)f(x)=(1-n)g(x)$

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

$w^{\prime }=w(n-1)f(x)+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)$

e integrando, si ottiene:

$w=e^{\int F}(\int G{e}^{-\int F}+c)$

da cui poi si ricava la $y$.

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

$y=z^{\frac{1}{1-n}}$

nell'equazione:

$y^{\prime }=-f(x)y+g(x)y^n$

in modo che si ha:

$z^{\prime }=(1-n)y^{\prime }{y}^{-n}$

da cui:

$y^{\prime }=z^{\prime }\frac{y^n}{1-n}$

quindi sostituendo e semplificando:

$z^{\prime }=(1-n)[-f(x)z+g(x)]$

Esempio

Sia dato:

$y^{\prime }+2y\sin x=y^{-2}\sin x$

dividendo si ha:

$\frac{y^{\prime }}{y^{-2}}+\frac{2\sin x}{y^{-3}}=\sin x$

ponendo $w=\frac{1}{y^{-3}}$:

$w^{\prime }=-w6\sin x+3\sin x$

e integrando:

$w=e^{6\cos x}(\frac{1}{2}{e}^{-6\cos x}+C)=\frac{1}{2}+C{e}^{6\cos x}$

Ricordando che $w=y^3$, l'unica radice reale per $y$ è:

$y={}^3\sqrt{\frac{1}{2}+C{e}^{6\cos x}}$

Bibliografia

• Template:En Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
• Template:En Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
• Template:En Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
• Template:En Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlate

• Equazione di Riccati
• Equazione differenziale di Abel
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria

Collegamenti esterni

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