Equazione differenziale di Abel

In matematica, l'equazione differenziale di Abel, che prende il nome dal matematico Niels Abel, è un'equazione differenziale ordinaria della forma:

$y^{\prime }=f_3(x)y^3+f_2(x)y^2+f_1(x)y+f_0(x)$

dove $f_3(x)\ne 0$. Se $f_3(x)=0$ e $f_0(x)=0$, oppure $f_2(x)=0$ e $f_0(x)=0$, l'equazione si riduce all'equazione di Bernoulli, mentre se $f_3(x)=0$ diventa l'equazione di Riccati.

Equazione del secondo tipo

La sostituzione $y=1/u$ produce una seconda equazione differenziale di Abel detta "del secondo tipo":

$u{u}^{\prime }=-f_0(x)u^3-f_1(x)u^2-f_2(x)u-f_3(x)$

che si trova in letteratura anche senza il termine al cubo:

$y{y}^{\prime }=f(x)y^2+g(x)y+h(x)$

da non confondere con l'equazione di Riccati. Sostituendo in quest'ultima:

$y=e^{\int f(x)dx}z=Ez$

l'equazione assume la forma:

$z{z}^{\prime }=\frac{g}{E}z+\frac{h}{E^2}$

Introducendo la variabile indipendente:

$u=\int \frac{g}{E}$

l'equazione si riduce alla forma canonica:

$z\frac{dz}{du}-z=\mathrm{\Phi }(u)$

La funzione $\mathrm{\Phi }$ è definita parametricamente da:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(u)=\frac{h(x)}{g(x)E(x)}\\ u=\int \frac{g(x)}{E(x)}\end{array}$

Ridotta in forma canonica, sono noti in letteratura molti casi risolvibili.

Bibliografia

• Template:En Murphy, G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solution. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1960.
• Template:En Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Voci correlate

• Equazione differenziale di Bernoulli
• Equazione di Riccati

Collegamenti esterni

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