Equazione di Lane-Emden

Soluzioni dell'equazione di Lane-Emden per n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

In astrofisica, l'equazione di Lane-Emden è una forma adimensionale dell'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un fluido politropico, autogravitante, a simmetria sferica. Prende il nome dagli astrofisici Jonathan Homer Lane e Robert Emden. L'equazione è

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0,$

dove $\xi$ è un raggio adimensionale e $\theta$ si riferisce alla densità, e quindi alla pressione, tramite $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$ per la densità centrale ${\rho }_c$. L'indice $n$ è l'indice politropico che appare nell'equazione di stato politropica,

$P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$

dove $P$ e $\rho$ sono rispettivamente la pressione e la densità, e $K$ è una costante di proporzionalità. Le condizioni al contorno standard sono $\theta (0)=1$ e ${\theta }^{\prime }(0)=0$. Le soluzioni quindi descrivono l'andamento della pressione e della densità con il raggio e sono conosciute come politropiche di indice $n$. Se si considera un fluido isotermico (con indice politropico tendente a infinito) invece di uno politropico, si ottiene l'equazione di Emden-Chandrasekhar.

Applicazioni

Fisicamente, l'equilibrio idrostatico collega il gradiente del potenziale, la densità e il gradiente della pressione, mentre l'equazione di Poisson collega il potenziale con la densità. Pertanto, se abbiamo un'equazione ulteriore che detta come la pressione e la densità variano l'una rispetto all'altra, si può ottenere una soluzione. La scelta di un gas politropico porta all'equazione di Lane–Emden. L'equazione è un'utile approssimazione per le sfere di plasma autogravitanti come le stelle, ma tipicamente è un'assunzione piuttosto limitata.

Derivazione

Dall'equilibrio idrostatico

Si consideri un fluido autogravitante a simmetria sferica in equilibrio idrostatico. La massa si conserva e quindi vale l'equazione di continuità

$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho$

dove $\rho$ è una funzione di $r$. L'equazione dell'equilibrio idrostatico è

$\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2}$

dove anche $m$ è una funzione di $r$. Fare di nuovo la derivata produce

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)& =\frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr}\\ & =-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho \end{array}$

dove l'equazione di continuità è stata usata per sostituire il gradiente di massa. Moltiplicando ambo i membri di $r^2$ e raccogliendo le derivate di $P$ a sinistra, si può scrivere

$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho }\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi G{r}^2\rho$

Dividere ambo i membri per $r^2$ dà, in un certo senso, una forma dimensionale dell'equazione desiderata. Se, inoltre, si sostituisse per l'equazione politropica di stato con $P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }^{n+1}$ e $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$, si ha

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^{2}K{\rho }_c^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{d\theta }{dr})=-4\pi G{\rho }_c{\theta }^n$

Raccogliendo i costanti e sostituendo $r=\alpha \xi$, dove

${\alpha }^2=(n+1)K{\rho }_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G,$

abbiamo l'equazione di Lane-Emden,

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0$

Dall'equazione di Poisson

Si può cominciare in maniera equivalente con l'equazione di Poisson,

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}\right)=4\pi G\rho$

Si può sostituire il gradiente del potenziale usando l'equilibrio idrostatico, per mezzo di:

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}=-\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}$

che analogamente porta alla forma dimensionale dell'equazione di Lane–Emden.

Soluzioni esatte

Per un certo valore dell'indice politropico $n$, indichiamo la soluzione all'equazione di Lane-Emden come ${\theta }_n(\xi )$. In generale, l'equazione di Lane–Emden deve essere risolta numericamente per trovare ${\theta }_n$, ma esistono soluzioni esatte e analitiche per $n=0,1,5$. Tuttavia, per $n$ tra 0 e 5, le soluzioni sono continue e finite, e il raggio della stella è dato da

$R=\alpha {\xi }_1$,

dove ${\theta }_n({\xi }_1)=0$.

Per una certa soluzione ${\theta }_n$, il profilo della densità è dato da

$\rho ={\rho }_c{\theta }_n^n$.

La massa totale $M$ di una determinata stella si ottiene integrando la densità da 0 a ${\xi }_1$.

La pressione può essere trovata usando l'equazione di stato politropica, $P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$, ovvero

$P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }_n^{n+1}$

Infine, se il gas è perfetto, l'equazione di stato è $P=k_B\rho T/\mu$, dove $k_B$ è la costante di Boltzmann e $\mu$ la massa molecolare media. Il profilo di temperatura è quindi dato da

$T=\frac{K\mu }{k_B}{\rho }_c^{1/n}{\theta }_n$

Come sopra indicato, l'equazione di Lane–Emden è integrabile solo per tre valori dell'indice politropico $n$.

Per n = 0

Se $n=0$, l'equazione diventa

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+1=0$

Riordinando e integrando si arriva a

${\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }=C_1-\frac{1}{3}{\xi }^3$

Dividere ambo i membri per ${\xi }^2$ e integrare di nuovo fornisce

$\theta (\xi )=C_0-\frac{C_1}{\xi }-\frac{1}{6}{\xi }^2$

Le condizioni al contorno $\theta (0)=1$ e ${\theta }^{\prime }(0)=0$ implicano che le costanti di integrazione sono $C_0=1$ e $C_1=0$. Pertanto,

$\theta (\xi )=1-\frac{1}{6}{\xi }^2$

Per n = 1

Quando $n=1$, l'equazione può essere sviluppata nella forma

$\frac{d^2\theta }{d{\xi }^2}+\frac{2}{\xi }\frac{d\theta }{d\xi }+\theta =0$

Si assume che la soluzione sia una serie di potenze:

$\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\xi }^n$

Ciò porta a una relazione ricorsiva per i coefficienti dello sviluppo:

$a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+3)(n+2)}$

Questa relazione può essere risolta, ottenendo la soluzione generale:

$\theta (\xi )=a_0\frac{\sin \xi }{\xi }+a_1\frac{\cos \xi }{\xi }$

La condizione al contorno per una politropica fisica richiede che $\theta (\xi )\to 1$ per $\xi \to 0$. Questo richiede che $a_0=1,a_1=0$, arrivando così alla soluzione:

$\theta (\xi )=\frac{\sin \xi }{\xi }$

Per n = 5

Si inizia dall'equazione di Lane–Emden:

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^5=0$

Riscrivendo per $\frac{d\theta }{d\xi }$ si ottiene:

$\frac{d\theta }{d\xi }=\frac{1}{2}{(1+\frac{{\xi }^2}{3})}^{3/2}\frac{2\xi }{3}=\frac{{\xi }^3}{3{[1+\frac{{\xi }^2}{3}]}^{3/2}}$

Derivando rispetto a ξ porta a:

${\theta }^5=\frac{{\xi }^2}{{[1+\frac{{\xi }^2}{3}]}^{3/2}}+\frac{3{\xi }^2}{9{[1+\frac{{\xi }^2}{3}]}^{5/2}}=\frac{9}{9{[1+\frac{{\xi }^2}{3}]}^{5/2}}$

Che semplificato diventa:

${\theta }^5=\frac{1}{{[1+\frac{{\xi }^2}{3}]}^{5/2}}$

Pertanto l'equazione di Lane–Emden ha la soluzione

$\theta (\xi )=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2/3}}$

quando $n=5$.

Collegamenti esterni

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