Equazione di Bernoulli instazionaria

In fluidodinamica, e in particolare nell'ambito del moto a potenziale può talvolta essere utile generalizzare la famosa equazione di Bernoulli per il caso di flusso non stazionario.

L'Equazione di Eulero per un fluido incomprimibile si riduce a:

$\rho \frac{D^2\overrightarrow{r}}{D{t}^2}=-\mathrm{\nabla }p+\rho \mathbf{\text{g}},$

dove $\rho$ è la densità del fluido, $\frac{D^2\overrightarrow{r}}{D{t}^2}$ è la sua accelerazione, $p$ è la pressione, $\mathbf{\text{g}}$ è il vettore accelerazione di gravità. La derivata materiale a primo membro è esprimibile come:

$\frac{D^2\overrightarrow{r}}{D{t}^2}=\frac{\partial }{\partial t}\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}+(\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}\cdot \mathrm{\nabla })\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{\left(\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}\right)}^2-\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}\times (\mathrm{\nabla }\times \frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}).$

Introducendo ora l'ipotesi di flusso irrotazionale $(\mathrm{\nabla }\times \frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}=0)$ si avrà:

$\frac{D^2\overrightarrow{r}}{D{t}^2}=\frac{\partial }{\partial t}\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{\left(\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}\right)}^2.$

Sempre grazie alla condizione di irrotazionalità, la velocità è esprimibile come $\frac{D\overrightarrow{r}}{Dt}=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$, dove la funzione scalare $\mathrm{\Phi }$ è detta potenziale di velocità. Quindi avremo:

$\frac{D^2\overrightarrow{r}}{D{t}^2}=\frac{\partial \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\left(\frac{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2}{2}\right).$

Sostituendo ora quanto ottenuto all'interno dell'equazione di Eulero otterremo:

$\rho [\frac{\partial \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\left(\frac{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2}{2}\right)]=-\mathrm{\nabla }p+\rho \mathbf{\text{g}},$

da cui, essendo $\mathbf{\text{g}}=-g{\mathbf{\text{e}}}_z$:

$\mathrm{\nabla }[\rho \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}+\frac{1}{2}\rho |\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2+p+\rho \mathbf{\text{g}}z]=0.$

Si ottiene infine:

$\rho \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}+\frac{1}{2}\rho |\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2+p+\rho \mathbf{\text{g}}z=F(t),$

che è l'equazione di Bernoulli per flusso newtoniano, incomprimibile, non viscoso (ed in generale non stazionario) espressa in termini del potenziale di velocità $\mathrm{\Phi }$, mentre $F(t)$ è una generica funzione del tempo. Senza perdere di generalità, è comunque possibile porre $F(t)=cost.$

Bibliografia

• Batchelor G. K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press