Equazione del trasporto

In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.

Formulazione

L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che, nel caso di coefficienti costanti, assume la forma:

$\frac{\partial u}{\partial t}+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }u=f$

dove $\mathrm{\nabla }$ è il gradiente e

$u(𝐱,t):{ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty })\to ℝ$

è la funzione incognita nelle variabili posizione $𝐱\in {ℝ}^n$ e tempo $t\in ℝ$, mentre $𝐛\in {ℝ}^n$ ed $f$ è il termine sorgente, che condivide con $u$ dominio e codominio.

Soluzione per l'equazione omogenea

L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:

$\frac{\partial u}{\partial t}+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }u=0$

L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di $u$ nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.

Si consideri il generico punto $(𝐱,t)\in {ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty })$ e si definisca la funzione:

$z(s)=u(𝐱+s𝐛,t+s)$

con $s$ reale.

Il differenziale di tale funzione è:

$dz=\sum _i^n\frac{\partial z}{\partial x_i}d{x}_i(s)+\frac{\partial z}{\partial t}dt(s)=\mathrm{\nabla }z\cdot d𝐱(s)+\frac{\partial z}{\partial t}dt(s)$

Essendo:

$\frac{d𝐱(s)}{ds}=𝐛\frac{dt(s)}{ds}=1$

la derivata totale rispetto a $s$ è:

$\frac{dz}{ds}=\frac{\partial z}{\partial t}+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }z=0$

L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi $z$ è una funzione costante nella variabile $s$. Questo significa che $u$ è una funzione costante in ogni punto $(x,t)$ nella direzione $(𝐛,1)$: tale direzione è una retta se $𝐛$ è costante, ed è parametrizzata da $(𝐱+s𝐛,t+s)$. Conoscendo il valore di $u$ lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di $u$ in tutto il dominio.

Si ponga come condizione al contorno che nel punto $t=0$ si abbia $u=g$, con $g$ nota. La direzione di $u$ interseca il piano ${ℝ}^n\times [t=0]$ quando $s=-t$, e quindi:

$u(𝐱-t𝐛,0)=g(𝐱-t𝐛)$

da cui segue che:

$u(𝐱,t)=g(𝐱-t𝐛)$

Se $g$ è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.

Soluzione per l'equazione non omogenea

Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto $t=0$ si abbia $u=g$. Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.

Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:

$z(s)=u(𝐱+s𝐛,t+s)$

Si ha:

$\frac{dz}{ds}=\frac{\partial z}{\partial t}+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }z=f(𝐱+s𝐛,t+s)$

Dal momento che:

$u(𝐱,t)=z[s=0]g(𝐱-𝐛t)=z[s=-t]$

si ottiene:

$\underset{-t}{\overset{0}{\int }}\frac{dz(s)}{ds}ds=z[s=0]-z[s=-t]=u(𝐱,t)-g(𝐱-𝐛t)=\underset{-t}{\overset{0}{\int }}f(𝐱+s𝐛,t+s)ds=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(𝐱+(s-t)𝐛,s)ds$

e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:

$u(𝐱,t)=g(𝐱-𝐛t)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(𝐱+(s-t)𝐛,s)ds$

La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione di Boltzmann
• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Fenomeni di trasporto
• Metodo delle caratteristiche

Collegamenti esterni

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