Elettrone degenerato

Template:F L'elettrone degenerato è una particolare condizione del gas che compone una stella, che devia dall'andamento statistico normale detto di equilibrio termodinamico.

In condizioni normali, infatti, la pressione del gas è una funzione che dipende essenzialmente da due parametri (temperatura e densità del gas). Nel caso di degenerazione, invece, il gas tende a seguire una differente distribuzione statistica (non più cioè quella dell'equilibrio termodinamico detta di Maxwell-Boltzmann) che prende il nome di distribuzione di Fermi-Dirac.

In questa distribuzione, rientra lo studio di un gas composto di soli elettroni e la cui pressione, in questo caso, sarà una funzione che dipenderà unicamente dalla densità stessa del gas. Volendo, inoltre, si potrebbero considerare due casi di degenerazione: quello non relativistico e quello relativistico, a seconda che il momento della quantità di moto massimo (momento di Fermi) che le particelle possono occupare in una distribuzione degenere sia molto più piccolo o all'incirca uguale alla quantità $m_e\cdot c$, dove $m_e$ è la massa dell'elettrone e $c$ è la velocità della luce.

Gas di Fermi

Template:Vedi anche Consideriamo un sistema quantistico di molte particelle, e guardiamone lo spazio delle fasi. A causa del principio di esclusione, lo spazio delle fasi può essere diviso in tante celle discrete, ognuna di volume

$V=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}_x\mathrm{\Delta }{p}_y\mathrm{\Delta }{p}_z\ge h^3$

e che può contenere al più s particelle, essendo s il numero di stati di spin (s=2 per elettroni, protoni, neutroni).

Per una distribuzione sferica di particelle compresa entro un raggio massimo $R$ ed un momento massimo $p_F$, il numero di particelle sarà:

$N=s\frac{4\pi }{3}{R}^3\frac{4\pi }{3}{p}_F^3\frac{1}{h^3}$

e, quindi, la densità di particelle per unità di volume spaziale sarà:

$n=\frac{N}{\frac{4\pi }{3}{R}^3}=s\frac{4\pi }{3}{\left(\frac{p_F}{h}\right)}^3$

dalla quale ricaviamo l'espressione del momento massimo $p_F$, detto momento di Fermi

$p_F={\left(\frac{3}{4\pi }\frac{n}{s}\right)}^{\frac{1}{3}}h$

e dal quale si ricava l'energia di Fermi

$E_F=\frac{p_F^2}{2m}=\frac{1}{2m}{\left(\frac{3}{4\pi }\frac{n}{s}\right)}^{\frac{2}{3}}{h}^2$

e l'energia media di un elettrone sarà

$\overline{E}=\frac{\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}\frac{p^2}{2m}4\pi p^{2}dp}{\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}4\pi p^{2}dp}=\frac{1}{2m}\frac{3p_F^5}{5p_F^3}=\frac{3}{5}{E}_F$

Quindi se tutti gli elettroni hanno energia minore di $E_F$ il gas si dice degenere e gli si può associare una pressione definita in modo termodinamico (se consideriamo $\gamma$ il coefficiente adiabatico e $\epsilon$ la densità di energia):

$p_d=(\gamma -1)\epsilon =\frac{2}{3}n\overline{E}=\frac{1}{5m}{\left(\frac{3}{4\pi s}\right)}^{\frac{2}{3}}{h}^2{n}^{\frac{5}{3}}$

detta Pressione di degenerazione.

Ruolo della pressione nelle stelle

La pressione di degenerazione è sempre presente in una stella, ma non fornisce un contributo decisivo al suo sostentamento, poiché ordinariamente minore della pressione $p=2nkT$. Se la stella è in una fase di collasso gravitazionale, può accadere che la pressione di degenerazione cresca tanto da superare di gran lunga la pressione ordinaria, a causa dell'aumento di densità della stella. Questo avviene quando la densità raggiunge il valore critico

$n\ge n_Q={\left(\frac{2\pi m_{e}kT}{h^2}\right)}^{\frac{3}{2}}$

da cui si vede che, anche per temperature relativamente alte, gli elettroni sono degeneri, a patto che la densità sia sufficientemente alta.

Tutto questo è di fondamentale importanza per il sostentamento delle nane bianche e delle stelle di neutroni, le quali si formano entrambe quando, in seguito ad un collasso, la pressione di degenerazione (degli elettroni nelle prime, e dei neutroni nelle seconde) diventa sufficientemente alta da contrastare la pressione gravitazionale.

Voci correlate

• Nana bianca
• Stella di neutroni
• Gas di Fermi
• Distribuzione di Fermi-Dirac