Gas di Fermi

In fisica, in particolare in meccanica statistica, un gas di Fermi è un gas di fermioni. La statistica di Fermi-Dirac permette di determinare la distribuzione dell'energia per un gas di fermioni all'equilibrio termico conoscendone la densità, la temperatura e il set di stati energetici possibili.

Con questo modello possono essere in prima approssimazione descritti i nucleoni all'interno del nucleo atomico o gli elettroni di conduzione in un metallo.

La statistica di Fermi-Dirac

Template:Vedi anche Un gas di Fermi composto da particelle identiche segue la statistica di Fermi-Dirac, dalla quale si deduce che:

$\overline{n_k}=\frac{1}{e^{({\epsilon }_k-\mu )/kT}+1}$

che rappresentano i valori medi dei numeri di occupazione per un gas di Fermi. Per un gas di Fermi tutti i numeri di occupazione sono $\overline{n_k}\le 1$. La normalizzazione impone:

$N=\sum _k\frac{1}{e^{({\epsilon }_k-\mu )/kT}+1}$

dove N è il numero totale di particelle del gas. Da questa possiamo determinare il potenziale chimico.

L'hamiltoniana di un gas di Fermi costituito da N fermioni di massa m racchiuso all'interno di una scatola cubica di lato L è:

$H_0=\sum _{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m}$

dove l'energia di singola particella è:

$\epsilon =\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$

espressi in termini di autovalori, ovvero i valori di energia accessibili al sistema: ${\epsilon }_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$. Tenendo conto della degenerazione di spin $g=2s+1$ dove s è lo spin del fermione, il numero di particelle nell'elemento di volume dello spazio delle fasi è:

$gd\tau =g\frac{d{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_{z}dV}{(2\pi \hslash {)}^3}$

cioè si ha per la distribuzione di Fermi:

$dN=\frac{gd\tau }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}$

Più precisamente, integrando quest'ultima in $dV$ si ottiene la distribuzione dell'impulso:

$d{N}_p=\frac{gV{p}^{2}dp}{2{\pi }^2{\hslash }^3[e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1]}$

e siccome $\epsilon =p^2/2m$, si deduce subito la distribuzione di energia:

$d{N}_{\epsilon }=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\frac{\sqrt{\epsilon }d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}$

Le ultime due espressioni rappresentano le distribuzioni di Maxwell nel caso di un gas di Fermi. Dalla seconda si ricava l'energia:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\epsilon d{N}_{\epsilon }=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\epsilon }^{3/2}d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}$

e il numero totale di particelle:

$N=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{\epsilon }d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}$

che fornisce anche il potenziale termodinamico:

$\mathrm{\Omega }=-\frac{VgT\sqrt{(m{)}^3}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\epsilon }^{3/2}d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}$

Esso coincide con l'energia a meno di un fattore:

$\mathrm{\Omega }=-PV=\frac{2}{3}E$

che è una relazione del tutto generale e vale per tutti i sistemi, sia di Bose, sia di Fermi e di Boltzmann.

Gas di Fermi completamente degenere

Supponiamo di avere un gas di fermioni di spin $s=1/2$ (quindi $g=2s+1=2$), ad esempio elettroni, a temperatura assoluta $T$ = 0 K. Gli elettroni a tale temperatura cercano di porsi negli stati a energia minore in modo che il totale dell'energia sia il valore più basso possibile, partendo dallo stato a energia nulla, fino a un certo valore.

Il numero di stati quantistici di un elettrone in un volume V con impulso compreso in $(p,p+dp)$ è dato dalla prima delle distribuzioni di Maxwell:

$2\frac{4\pi V{p}^{2}dp}{(2\pi \hslash {)}^3}=V\frac{p^{2}dp}{{\pi }^2{\hslash }^3}$

Gli elettroni occupano tutti gli stati con impulso uguale a zero (notare che $\epsilon =p^2/2m$) fino al valore $p=p_F$ detto impulso di Fermi, che equivale nello spazio degli impulsi, al raggio di una sfera detta sfera di Fermi.

Il numero totale di elettroni in questi stati è dato da:

$N=\frac{V}{{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}{p}^{2}dp=\frac{V{p}_F^3}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$

da cui possiamo ricavare l'impulso di Fermi:

$p_F=(3{\pi }^2{)}^{1/3}\hslash {\left(\frac{N}{V}\right)}^{1/3}$

e l'energia di Fermi:

${\epsilon }_F=\frac{p_F^2}{2m}=(3{\pi }^2{)}^{2/3}\frac{{\hslash }^2}{2m}{\left(\frac{N}{V}\right)}^{2/3}$

Questo si può vedere anche dai numeri di occupazione medi: infatti al limite $T\to 0$:

$\underset{T\to 0}{\lim }\overline{n_{𝐩}}=\underset{T\to 0}{\lim }\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}=\{\begin{array}{cc}1& \epsilon <\mu \\ 0& \epsilon >\mu \end{array}$

cioè i numeri di occupazione medi diventano una funzione a gradino facendoci pensare al fatto che per $p<p_F$ oppure $\epsilon <{\epsilon }_F$ gli elettroni si dispongono a partire dal livello $\epsilon =0$ fino ai livelli $p=p_F$ oppure $\epsilon ={\epsilon }_F$ con la condizione che in un livello ci sia al massimo una particella secondo il principio di esclusione di Pauli. Dopo questi valori, per $p>p_F$ non vi sono più elettroni da sistemare.

Da notare che:

${\epsilon }_F=\mu$

L'energia totale del gas di Fermi completamente degenere si ottiene dall'integrazione:

$E=\frac{V}{2m{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}{p}^{4}dp=\frac{V{p}_F^5}{10m{\pi }^2{\hslash }^3}$

che, sostituendo l'espressione dell'impulso di Fermi e, nel successivo passaggio, quella dell'energia di Fermi, diventa:

$E=\frac{3(3{\pi }^2{)}^{2/3}{\hslash }^2}{10m}{\left(\frac{N}{V}\right)}^{2/3}N=\frac{3}{5}N{\epsilon }_F$

Infine, usando la relazione generale del potenziale termodinamico, si ottiene:

$P=\frac{(3{\pi }^2{)}^{2/3}{\hslash }^2}{5m}{\left(\frac{N}{V}\right)}^{5/3}$

ovvero: la pressione è proporzionale alla densità secondo la potenza 5/3.

Voci correlate

• Statistica di Fermi-Dirac
• Energia di Fermi
• Gas di Bose
• Gas di fotoni
• Gas ideale quantistico
• Materia degenere
• Liquido di Fermi